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2014年9月 3日 (水)

平面図形の長さ 第58問 (洛星中学 受験問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 受験問題 2010年 算数) 難易度★★★

 

AB=AC=10cm、BC=6cmの二等辺三角形があります。

辺AB上に点Dを AD=3cm となるようにとり、下の図のように

折ったところ、AC とDE が平行になり、点Bは点F に重なり

ました。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3999q

(1)CEの長さを求めなさい。

(2)GFの長さを求めなさい。

(3)AGの長さを求めなさい。

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解答

 (1)AC とDE が平行なので、三角形ABC と三角形DBE は

相似になり、AB:DB=BC:BE=10:7 となるので、

  BE=6×7/10=4.2cm

とわかり、

  CE=6-4.2=1.8cm

と求められます。

 

 (2)下の図1のように、BFを線で結部と、DE,AC と垂直に

交わり、それぞれを点P,Qとします。

    Pic_4000a

三角形ABQと三角形DBPは相似なので、

BP:PQ=7:3 で、BP=FP より、

BP:PQ:QF=7:3:4 とわかります。

 

三角形DFPと三角形GFQが相似なので、、

点Gは、DF(7cm)を3:4に分ける点とわかり、

GF=4cm と求められます。

 

 (3)三角形DBE は三角形ABC と相似なので、

二等辺三角形で、DE=DB=7cm です。

 

三角形DEFと三角形GHF が相似なので、三角形GHF も

二等辺三角形で、GF=GH=4cm です。

 

下の図2のように、角B=● として、同じ大きさのところに

印をつけることができます。

    Pic_4001a

図2より、三角形ECH が三角形ABC と相似ということがわかり、

CE=1.8cm なので、CE:CH=AB:BC=10:6 より、

  CH=1.8×6/10=1.08cm

とわかります。

 

よって、AG=10-(4+1.08)=4.92cm と求められます。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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