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2014年9月 5日 (金)

点の移動 第49問 (栄光学園中学 受験問題 2009年(平成21年度) 算数)

 

問題 (栄光学園中学 受験問題 2009年 算数) 

     難易度★★★★

 

下の図のように、1辺の長さが1cmの正三角形ABCがあります。

その周上には左回りにグルグル回る3つの点P,Q,R があり、

点Pは毎秒11/6cm、点Qは毎秒14/9cm、点Rは毎秒1cm

の速さで動きます。いま、点Pは頂点Aから、点Qは頂点Bから、

点Rは頂点Cから同時にスタートしました。次の問に答えなさい。

     Pic_3995q_2

(1)3点P,Q,Rを結んでも三角形にならない場合があります。

   初めてそのような場合になるのは、スタートしてから何秒後

   ですか。

(2)スタートしてから次に3点ともはじめの頂点(点PはA,点Q

   はB,点RはC)に戻るのは何秒後ですか。

(3)スタートしてから最初に三角形PQRが正三角形になるのは

   何秒後ですか。ただし、3点P,Q,Rのいずれも頂点A,B,

   Cにない場合とします。

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解答 

 (1)3点を結んでも三角形にならないのは、3点が

同じ辺上にあるときです。

 

Pは、 1÷11/6=6/11秒 で次の頂点に着き、

Qは、 1÷14/9=9/14秒 で次の頂点に着き、

Rは、 1秒 で次の頂点に着きます。 

 

それぞれの点が各頂点に何秒後に着くのかを表にすると、

下の図1のようになり、

     Pic_3996a_2

黄色のところに注目すると、点Pが頂点Aに着いたとき

(18/11秒後) には、点Q、R は共に辺AB上にいる

ことがわかります。

 

よって、初めてP,Q,Rを結んでも三角形を作ることが

できなくなるのは、点P が頂点Aに着いた

 18/11=1と7/11秒後

です。

 

 (2)図1より、点Pは18/11秒ごとに点Aに戻り、

点Qは27/14秒ごとに点Bに戻り、点Rは3秒ごとに点Cに

戻るということがわかります。

 

よって、求めるのは、18/11、27/14、3 の最小公倍数です。

まず、下の図2のように、18/11 と 27/14 の最小公倍数は、

        Pic_3997a

1/11×1/14×3×3×28×33=54 と求められます。

次に、3と54の最小公倍数は、54 なので、3つの点が

初めて共に最初の頂点に戻るのは、54秒後 とわかります。

 

 (3)三角形PQRが正三角形になるのは、P,Q,R がそれぞれ

1cmずつ離れているときです。

 

点P と点R は最初2cm離れているので、点Pが点Rの1cm後方

になるのは、 1÷(11/6-1)=6/5秒後 です。

点P と点R が重なるのは、2÷(11/6-1)=12/5秒後 で、

点Pが点R の1cm前方になるのは、18/5秒後 です。

以後同様に続きます。

 

点Q は点R の1cm後方にいて、点Qが点Rの1cm前方に

なるのは、2÷(14/9-1)=18/5秒後 です。

2回目に点Qが点Rの1cm後方になるのは、

 3÷(14/9-1)=27/5秒後

です。以後同様に続きます。

 

まとめると、下の図3のようになり、

  Pic_3998a

三角形PQR は、54/5=10.8秒後 に初めて正三角形となる

ことがわかります。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

はじめまして。

これ☆3なのでしょうか?
(1)から緻密な調査が求められ分数の大小関係や時系列の理解が難しく、解説みてじっくり時間かけやっと理解できました

投稿: あ | 2014年9月 5日 (金) 18時28分

あ様、コメントありがとうございます。
 
すみません、難易度訂正いたしました。
★3レベルの問題ではありませんでした。
 
また、お気づきの点がございましたら
コメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2014年9月 5日 (金) 19時55分

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