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2014年8月22日 (金)

有名な四面体 第9問 (大阪星光学院中学 入試問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (大阪星光学院中学 入試問題 2010年 算数)

     難易度★★★★

      Pic_3979q

上の図のような1辺の長さが 6cmの立方体があります。

点 I は、辺FGのまん中の点です。この立方体を3点A,C,I

を通る平面で切るとき、切り口の図形の面積を求めなさい。

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解答

 まず、3点A,C,I で切ったときの切り口について考えると、

面ABCD と面EFGH は平行なので、下の図1のように、AC と

平行な線を点 I から引き、辺EF との交点を点J とします。

      Pic_3980a

点A と点J は同じ平面上にあるので、切り口は四角形ACIJ に

なることがわかります。

 

ここで、下の図2の三角すい P-QRS の展開図が図3の

正方形のようになることを利用します。

Pic_3981a

(詳しくは → こちら を参照)

 

下の図4のように、立方体を8個使って大きな立方体を作ると、

Pic_3982a

三角すいB-ACK の展開図は、下の図5のようになり、

   Pic_3983a

三角形ACKの面積=12×12-(6×6÷2+6×12÷2×2)

            =144-90=54c㎡

で、三角形ACK と三角形JIK はAC と JI が平行なので相似で、

相似比 = 2 : 1 より、面積比= 2×2 : 1×1 = 4 : 1 で、

求める面積=54×3/4=40.5c㎡ です。

 

 

 大阪星光学院中学の過去問題集は → こちら

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

 

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