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2014年7月 4日 (金)

平面図形の長さ 第52問 (麻布中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (麻布中学 入試問題 2014年 算数)

     難易度★★★

 

下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめた

ものです。また、下の図で表されるような位置に、点O,

点X,点Y,直線XY があります。

Pic_3912q

点Y を中心にして、直線XY を反時計回りに 60度回転

させたとき、点X が移る先の点を Z とします。

 

(1)点 Z を図1に黒丸で書き入れなさい。また、書き入れた

   黒丸の近くに Z と書きなさい。

(2)角XOZ の大きさを答えなさい。

 

次に、下の図2のような正六角形ABCDEF の形をした

紙を考え、直線BD と直線CF の交点を I とします。

点A と点 I が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。

すると、折り目は2つの辺 EF,AB と交わりました。

このとき、折り目と辺EF との交点をP,辺AB との

交点をQ とするとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3913q

(3)EP と PF の長さの比、およびAQ とQB の長さの比を

   最も簡単な整数の比で表しなさい。

(4)四角形AQPF の面積は、正六角形ABCDEF の面積の

   何倍になりますか。分数で答えなさい。

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解答

 (1)いきなり点X を回転させるのは難しいので、次の

ように考えましょう。

 

下の図3のように、点Y から点X へ、直線XY ではなく、

正三角形の線を通って向かう青線と赤線を考えます。

青線は正三角形の辺4本分、赤線は2本分です。

Pic_3914a

次に、下の図4のように、まず青線を60°回転させます。

Pic_3915a

下の図5のように、青線と赤線は120°をなしているので、

青線の先(W)から120°の角度で赤線を引けば、そこが

点Z の位置になります。

Pic_3916a

三角形YVX と三角形YWZ が合同で、線VYが60°

回転しているで、線XY も60°回転して点Z の位置に

なります。

 

 (2)下の図6のように、点X から点Z までを青線と赤線で

結ぶことができ、

Pic_3917a

三角形YVX,YWZ,ZUX は合同なので、

XY=YZ=ZX とわかり、三角形XYZ は正三角形です。

 

点O はXY のまん中の点なので、正三角形の頂点(Z)から

底辺の真ん中の点へ線を引いたときにできる角XOZ は

90°(直角)となります。

 

 

 (3)正六角形を図1に書きこむと、下の図7のようになります。

Pic_3918a

ちょうど、点A,I は、図1の点Y,X になります。

そして、点A を点 I と重なるように折ったときの折り目は、

直線A I と垂直に交わる線で、図6の点O,Z を結んだ

線と同じになるので、図6に書き込むと、下の図8のように

なります。

Pic_3919a_2

点P はEF のまん中の点なので、EP : PF = 1 : 1 です。

 

次に、下の図9のように

Pic_3920a_2

三角形OQR と三角形OTS は合同で、さらに三角形OPG と

相似で、相似比が 1 : 2 なので、QR の長さは、正三角形の

1辺の長さの半分とわかり、AQ : QB = 7 : 1 です。

 

 (4)正六角形ABCDEF は、正三角形96個分の面積です。

四角形AQPF は、(3)より、三角形OQR と三角形OTS が

合同なので、面積を移すことができます。また、下の図10で

点T がSHのまん中の点なので、三角形PTH の面積は、

平行四辺形PGSH の面積の 4分の1 となります。

Pic_3921a

平行四辺形PGSH は正三角形4個分の面積なので、

三角形PTH の面積は、正三角形1個分の面積とわかります。

よって、四角形AQPF の面積は、

 平行四辺形ARSF(正三角形24個分)

 三角形PHF(正三角形4個分)

 三角形PTH(正三角形1個分)

でできているので、正三角形29個分ということがわかります。

 

ゆえに、四角形AQPF の面積は、正六角形ABCDEF の面積の

  29/96倍

です。

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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