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2014年6月24日 (火)

平面図形の長さ 第51問 (駒場東邦中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (駒場東邦中学 入試問題 2014年 算数) 

     難易度★★★☆

 

下の図において、三角形ABC、三角形BCD、三角形CDE は

それぞれ正三角形です。辺AB の長さを 1 : 3 に分ける点P

を通り、三角形ABC の面積を2等分する直線を引き、辺BC,

辺DE と交わった点をそれぞれQ,R とします。このとき、次の

問に答えなさい。

Pic_3901q

(1)BQ とQC の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)DR とRE の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)四角形BPRDと四角形PAERの面積の比を最も簡単な

   整数の比で表しなさい。

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解答

 (1)AP : BP = 1 : 3 なので、下の図1のように、

三角形APQ : 三角形BPQ の面積比= ① : ③ となります。

Pic_3902a

一方、PQ は三角形ABC の面積を二等分しているので、

三角形ABC の面積= ③×2= ⑥ ということになり、

三角形ACQ の面積= ⑥-(③+①)=② とわかります。

 

BQ : QC の比は、三角形APQ : 三角形ACQ の面積比と

等しいので、 (③+①) : ② = 2 : 1 とわかります。

 

 (2)三角形ABC は正三角形なので、ABの長さ=BCの長さ

で、AP:BP=1:3、BQ:QC=2:1 の比を合わせると、

下の図2のように、AP:BP=3:9、BQ:CQ=8:4 で、

AB=BC=【12】とすることができます。

Pic_3903a_2

CD と PR の交わる点をS とすると、

三角形PQBと三角形SQC は3つの角度が等しいので相似です。

よって、PB:BQ=SC:CQ=9:8 となるので、

   SC=【4.5】

とわかります。すると、DS=【12】-【4.5】=【7.5】です。

 

さらに、三角形PQBと三角形SRD も相似なので、

DS : DR = 9 : 8 で、DR=【7.5】×8/9=【20/3】

となります。すると、RE=【12】-【20/3】=【16/3】 です。

 

よって、DR : RE = 【20/3】 : 【16/3】 = 5 : 4 です。

 

 (3)AB=BC=【12】としてきたので、正三角形ABC の面積を

12×12=144 とします。各長さは下の図3のようになっていて、

Pic_3904a

正三角形ABC の面積=144のとき、

  三角形BPQ の面積=9×8=72

  三角形CQS の面積=4×4.5=18

  三角形DRS の面積=7.5×20/3=50

で、台形BDSQ の面積=144-18=126 となります。

 

よって、

 四角形BPRD の面積=72+126+50=248

 四角形PAER の面積=144×3-248=184

なので、

 面積比 四角形BPRD : 四角形PAER

    = 248 : 184  = 31 : 23

と求められます。

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 

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