平面図形の長さ 第４９問 （吉祥女子中学 入試問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（吉祥女子中学　入試問題　2014年　算数）　難易度★★★

下の図の正方形において、点Ａ，Ｂはそれぞれ正方形の辺を

２等分する点です。また、直線ＡＢと直線ＣＤは点Ｅ で垂直に

交わっています。正方形の対角線が２０ｃｍ、ＢＥ の長さが７ｃｍ

のとき、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）ＡＥ の長さを求めなさい。

（２）ＤＥ の長さを求めなさい。

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解答

　（１）下の図１の三角形ＰＡＢ と三角形ＰＱＲは相似で、

　　　　　

ＱＲ＝２０ｃｍ で、Ａ，Ｂ は正方形の辺のまん中の点なので、

相似比は ２ ： １ で、ＡＢ＝１０ｃｍ とわかります。

ＢＥ＝７ｃｍ なので、ＡＥ＝１０－７＝３ｃｍ です。

　（２）三角形ＰＡＢは直角二等辺三角形なので、角ＰＡＢ＝４５°

です。すると三角形ＡＣＥ も角ＣＡＥ＝角ＡＣＥ＝４５°となり、

直角二等辺三角形で、ＡＥ＝ＣＥ＝３ｃｍ とわかります。

次に、下の図２のように、ＣＤ と対角線ＱＲの交点をＦ，

ＰＢ＝ＱＧ となる点Ｇ をとり、ＡＧ と対角線ＱＲの交点をＨ

とします。

　　　　　

角ＡＣＥ＝４５°なので、三角形ＱＣＤ も直角二等辺三角形で、

三角形ＰＡＢ と三角形ＱＡＧ が合同より、直角二等辺三角形で、

ＣＤ とＡＧ は平行です。ＡＢ とＱＲ も平行なので、ＡＨ＝ＥＦ です。

ＡＨ は ＡＧ の半分の長さで、ＡＧ＝ＡＢ＝１０ｃｍ より、

ＡＨ＝ＥＦ＝５ｃｍ とわかります。

よって、ＣＦ＝ＣＥ＋ＣＦ＝８ｃｍ で、三角形ＣＦＱ と三角形ＤＦＱが

合同なので、ＣＦ＝ＤＦ より、ＣＤ＝８×２＝１６ｃｍ とわかります。

ゆえに、ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ＝１６－３＝１３ｃｍ です。

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