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2014年6月20日 (金)

規則性の問題 数の並び 第74問 (聖光学院中学 受験問題 2013年 算数)

 

問題 (聖光学院中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

     難易度★★★★

 

2ケタの数を表示する機械A があり、スイッチを入れると

1秒ごとに次の規則で数字が表示されます。

【規則】

 10の位は、1,2,3,4,5,6,7,8 の順に1秒ごとに変わり、

 8の後はまた1に戻り、同じように変わります。

 1の位は、1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 の順に1秒ごとに

 変わり、0の後はまた1に戻り、同じように変わります。

 

たとえば、スイッチを入れると1秒後に11、2秒後に22、

3秒後に33が表示され、9秒後には19、10秒後には20、

11秒後には31が表示されます。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)73が初めて表示されるのは、スイッチを入れてから

   何秒後ですか。

(2)この機械Aで表示することができる2ケタの数を1回ずつ

   すべて加えるといくつになりますか。

(3)同じように3ケタの数を表示する機械Bがあり、10の位と

   1の位を表示する規則は機械Aと同じで、100の位は

   7,6,5,4,3,2,1の順に1秒ごとに変わり、1の後は

   また7に戻り、同じように変わります。たとえば、スイッチ

   を入れると、1秒後に711、2秒後に622、8秒後には788

   が表示されます。

   (ア)711が2度目に表示されるのは、スイッチを入れてから

     何秒後ですか。

   (イ)773が初めて表示されるのは、スイッチを入れてから

     何秒後ですか。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)十の位が7になるのは、7秒後、15秒後、23秒後、・・・

と、7に8の倍数を加えたときで、一の位が3になるのは、

3秒後、13秒後、23秒後、・・・ となり、23秒後に73に

なることがわかります。

 

 (2)機械A で作ることができる数は、

10~89 までの、80個の数なので、その和は

  (10+89)×80÷2=3960

です。 ・・・ とすると間違いです

 

下の図1のように、上の段に十の位、下の段に一の位を書き、

数字のつながりを追います。

Pic_3897a

8秒後の88の次は、19,20,31,32、・・・、86、17 、28、

39,40,51,・・・,84,15,・・・ となります。ていねいに

調べると、2個ずつずれていることがわかります。

(18,16 がない。87がない。)

 

これは、十の位が8個、一の位が10個あるので、2個ずつ

ずれていくわけです。すると、下の図2のように、

Pic_3898a

十の位が1の数は、19→17→15→13→11(元にもどる)の

順に数が変わっていき、十の位が8の数は、88→86→84→

82→80→88 の順に数が変わっていくことがわかります。

 

つまり、十の位が奇数のものは、奇数しか作れず、

十の位が偶数のものは、偶数しか作ることができないのです。

 

よって、求める和は、

  11+13+15+17+19

+20+22+24+26+28

+31+・・・・・・・・・・・・+39

+40+・・・・・・・・・・・・+48

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+80+・・・・・・・・・・・・+88

となりますが、偶数と奇数がジグザグのようになっているので、

一工夫しましょう。

  11+13+15+17+19

+21+23+25+27+29 -5

+31+・・・・・・・・・・・・+39

+41+・・・・・・・・・・・・+49 -5

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+81+・・・・・・・・・・・・+89 -5

偶数を奇数に変え、変えた個数(5個×4列)を引けばいいです。

すると、奇数が40個あるので、求める和は、

 (11+89)×40÷2-20=1980

と楽に計算できます。

 

 (3)(ア)(2)より、機械A は40秒で40個の数が表示され

最初に戻ることがわかります。

40という数は、8と10の最小公倍数です。

 

機械Bは、百の位に7個の数が加わるので、

7,8,10の最小公倍数の280秒ごとに同じ数が

表示されることがわかります。

 

よって、1秒後に表示される711が2回目に表示されるのは、

1+280=281秒後 です。

 

 (3)(イ)百の位が7になるのは、1秒後、8秒後、・・・の

7で割ると1余るときで、

十の位が7になるのは、8で割ると7余るときで、

一の位が3になるのは、10で割ると3余るときです。

 

つまり、7で割ると1余り、8で割ると7余り、10で割ると3余る

最も小さい数を求めればよいことになります。

 

一気に求めることはできないので、まず、7で割ると1余り、

8で割ると7余る数を探すと、15です。

 

15に、7と8の最小公倍数の56を加えていくと、7で割ると1余り、

8で割ると7余る数になります。

 

すると、15、71、127、183、・・・ となり、10で割ると 3余る

183 にたどりつきます。

 

よって、7で割ると1余り、8で割ると7余り、10で割ると3余る

最も小さい整数は、183 で、機械Bで 773 が初めて表示される

のは、183秒後 とわかります。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

私の別解を書かせていただきます。

(2)は10の位が8秒で一周期となり1の位が10秒で一周期なので、二桁の数は8と10の最小公倍数の40秒で一周期となる。
二桁の数の総和を1の位と10の位で分けて考えると、1の位の総和は1+2+3+4+5+6+7+8+9+0=45
40÷10×45=180
10の位の総和は
1+2+3+4+5+6+7+8=36
40÷8×36×10=1800
よって答えは 180+1800=1980 となります。

(3)(イ)は下二桁だけで考えると問(1)の結果から23に40の倍数を足した時間が条件を満たします。
100の位について考えると、23秒後は23÷7の余りが2なので2秒後の数字である6になります。
その40秒後は40÷7の余りが5なので、5秒分数字がずれることになります。
よって2に5の倍数を足してそれを7で割った余りが1になるのを探すと、2+5×4=22が見つかります。
よって答えは 23+40×4=183秒後になります。

投稿: 万打無 | 2014年6月20日 (金) 19時30分

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