点の移動 第４８問 （開成中学 入試問題 2008年（平成20年度） 算数）

問題　（開成中学　入試問題　2008年　算数）　難易度★★★

１辺の長さが１０ｃｍ の正方形ＡＢＣＤ があります。下の図の

Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ は正方形の各辺のまん中の点であり、ＯはＥＦ

とＧＨ が交わった点です。点Ｐは点Ａから秒速１ｃｍで、

　Ａ → Ｅ → Ｏ → Ｆ → Ｃ → Ｇ → Ｏ → Ｈ → Ａ

と移動します。また、点Ｑは点Ｐ と同時に点Ａを出発して

正方形ＡＢＣＤ の周上を点Ｐより速い一定の速さで時計

回りに周ります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）点Ｐが正方形ＡＢＣＤ の周上を動いている間の移動の

　　 様子を下の図２のグラフに書きなさい。ただし、点Ｐが

　　 正方形ＡＢＣＤ の周上を動いていない時間は何も

　　 書きこんではいけません。

（２）点Ｑは出発してから２周目にＣＦ上の点Ｃから１ｃｍの

　　 地点で点Ｐと初めて重なりました。点Ｑの速さは秒速

　　 何ｃｍ ですか。また、点Ｐと点Ｑが出発してから２回目

　　 に重なるのは、どの地点ですか。

　　 （どの辺上の、どの点から何ｃｍ）

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解答

　（１）下の図３のようなグラフになります。

　（２）点Ｑは点Ｐと出会うまで、６１ｃｍ移動しています。

点Ｐが点Ｑと出会う地点までは、点Ａから１９ｃｍ移動します。

点Ｐが２周目の場合は、出発して５９ｃｍになります。

点Ｐが３周目の場合は、出発して９９ｃｍになりますが、

点Ｐは点Ｑよりおそいので、点Ｐの移動キョリは６１ｃｍ未満

になります。

すると、点Ｐが１９ｃｍ移動したか、５９ｃｍ移動したかに

なりますが、５９ｃｍの場合、５９秒で点Ｑは６１ｃｍ移動

したことになり、ほぼ秒速１ｃｍです。この場合、

点Ｑは１周目にも点Ｐと点Ｃ付近で出会うことになり、

条件に反します。

よって、点Ｐは１９ｃｍ移動し、点Ｑは６１ｃｍ移動したと

結論付けることができ、点Ｑは１９秒で６１ｃｍ移動しているので

点Ｑの速さは、６１÷１９＝３と４/１９（秒速）　です。

点Ｑは、１９秒で６１ｃｍ進むので、１周（４０ｃｍ）するのに

かかる時間は、１９×４０/６１＝７６０/６１＝１２と２８/６１（秒）

です。およそ、１２．５秒です。

この点Ｑの動きを、図３のグラフに書くと、下の図４のように

なり、点Ｐと点Ｑが２回目に出会うのは、図の丸印のところ

と見当がつきます。（速さをおよそ秒速１２．５ｃｍとしているので）

３５秒経過したときの点Ｑの位置は、

　３５×６１/１９＝２１３５/１９＝１１２と７/１９

なので、２周と３２ｃｍ過ぎた地点なので、ＤＨ上です。

一方、点Ｐは３５秒経過時点で、点Ｈにいるので、

点Ｐと点ＱはＡＨ上で出会います。

２つの点のキョリは、３５秒時点で、２と１２/１９ｃｍあり、

何秒後に重なるかというと、

　 ５０/１９÷（６１/１９ － １）＝２５/２１秒後

です。

よって、点Ｐと点Ｑが２回目に重なる位置は、

　ＡＨ上のＨから１と４/２１ｃｍ

のところです。

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