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2014年6月 6日 (金)

場合の数 第75問 ぬり分け (渋谷教育学園幕張中学 入試問題 2005年(平成17年度) 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 入試問題 2005年 算数)

     難易度★★★

 

オリンピックのマークは、青色、黄色、黒色、緑色、赤色の5色

で描かれています。同じ形のマークを自分のペンを使って描いて

みることにしましたが、赤色のペンがありませんでした。そこで、

赤色以外の4色のペンで描くことにしました。いま、下の図の

ように、まん中の輪を黒色で描いたあと、以下のようなことを

考えました。各問に答えなさい。

Pic_3888q

(1)青色と黄色の2色だけで残りの輪を描くとき、全部で何通り

   できますか。ただし、どちらか1色だけで描くことはしません。

(2)黒色以外の3色(青色、黄色、緑色)すべてを使って残りの

   輪を描くとき、同じ色の輪が交わることのないようにするには

   全部で何通り考えられますか。

(3)残りの輪を黒色を含む3色で描くことにした場合、(2)と

   同じように同じ色の輪が交わることのないようにするには

   全部で何通り考えられますか。

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解答

 (1)わかりやすくするため、下の図1のように、輪に①~④の

番号をつけます。

Pic_3889a

【①、②、③、④】を青、黄で描くとき、描き方は

 2×2×2×2=16通り (①は青か黄の2通り、②も③も④も)

ありますが、すべて青、黄の2通りを除かなければならないので、

輪の描き方は、16-2=14通り です。

 

 (2)①と②、③と④は同じ色を使わず、①~④で3色すべて

使うことに気をつけて、①が青の場合の樹形図を書くと、下の

図2のようになり、

   Pic_3890a

①が黄色、緑色の場合もそれぞれ8通りずつできるので、

輪の描き方は、8×3=24通り あります。

 

 (3)黒を含む3色で、残りの輪の描き方を考えますが、

黒は②、③に描くことはできません。

 

まず、下の図3のように、①と④を黒にする場合

Pic_3891a

②と③に青、黄、緑から2つ選んで入れます。

2つ選ぶのは (青、黄)、(黄、緑)、(青、緑)の3通りがあり、

(②、③)に描くか、(③、②)に描くかの2通りがあるので、

この場合の輪の描き方は、3×2=6通り あります。

 

次に、下の図4のように、①を黒で描いた場合

Pic_3892a

②、③、④の3つを2色で描きます。

青、黄、緑から2色を選ぶのは上記のとおり、3通りあります。

ここで、③と④は同じ色では描けないので、

描き方のパターンは、

  ②と③を同じ色 - ④を残った色

  ②と④を同じ色 - ③を残った色

の2通りとなり、配色のパターンも図3の場合と同様2通りです。

 

よって、この場合の輪の描き方は、3×2×2=12通り あります。

 

④を黒で描いた場合も同様に12通り の描き方があるので、

輪の描き方は、合計で、

  6+12×2=30通り

あります。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

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