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2014年5月23日 (金)

立体図形の切り口 第63問 (東大寺学園中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 入試問題 2014年 算数)

     難易度★★★★★★

 

下の図のような AB=2cm、AD=3cm、AE=4cm の

直方体ABCE-EFGH があります。このとき、次の問に

答えなさい。

     Pic_3831q

(1)点Q が CH上を自由に動くとき、AQ を AR:RQ=2:1に

   分ける点 R が動くことのできる部分の長さは、CHの長さの

   何倍ですか。

(2)点P は AF上を自由に動き、点Qは点P の動きとは無関係に

   CH上を自由に動きます。PQを PR:RQ=2:1に分ける点を

   R とするとき、点 R が動くことのできる範囲は、どのような

   図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また、

   その図形の面積を求めなさい。

(3)(ア)三角すいACFH の体積を求めなさい。

      ただし、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で

      求めることができます。

  (イ)三角すいACFH と三角すいBDEG の共通部分

     (どちらの三角すいにも含まれている部分)の体積を

     求めなさい。

(4)(2)で求めた図形のうち、(3)の(イ)の立体に含まれている

   部分の面積を求めなさい。

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解答

 (1)下の図1のように、三角形ACHで考えると、点R の

動く範囲は、図の矢印の部分となります。

     Pic_3832a

点R が、点A と CH上の点Q を結ぶ線を常に 2 : 1 に

分けるので、図1の矢印(点R の動く線)と CH は平行に

なります。(三角形A-CH と 三角形A-矢印 の相似により)

 

よって、点R の動く長さは、CH の 2/3倍 です。

 

 

 (2)(1)では、点P が点A にいるときを考えたことになります。

点P が点F にいて、点Qが自由に動くときは、下の図2のように

三角形FCH を考えると、

     Pic_3833a

FC を 2:1 に分ける点S と FH を 2:1 に分ける点T を

結んだ線上を点R は通ります。

 

次に、点Qを点Hに固定して、点P をAF上を自由に動かすと、

点R は下の図3のように、三角形AFHの

     Pic_3834a

AH を 2:1に分ける点U と、FH を 2:1 に分ける点T を

結んだ線上を通ります。

 

次に、点Qを点Cに固定して、点P をAF上を自由に動かすと、

点R は下の図4のように、三角形AFC の

     Pic_3835a

AC を 2:1に分ける点V と、CF を 2:1 に分ける点S を

結んだ線上を通ります。

 

また、(1)の場合は、下の図5のように、点U,点V を結んだ

線上を点R は動きます。

     Pic_3836a_2

点R の動く範囲は、図2~図5を合わせた

下の図6の四角形STUV の内部となり、

     Pic_3837a

ST=UV,SV=UT で、向き合う辺が平行なので、

四角形STUV は平行四辺形です。

 

次に、ST,UV は CH に平行で、SV,UT は AF に平行なので

平行四辺形STUV は 面ABFE と平行な面上にあります。

 

下の図7のように、直方体を平行四辺形STUV を含む面で

切ると、面ABFE と平行な面WXYZ で切ることができます。

     Pic_3838a

三角形BCF と三角形XCS が相似で、FC : SC = 3:1 なので、

XS の長さは、BF の長さの 1/3 で、4/3cm とわかります。

 

同様に、UZ=4/3cm、VX=TZ=2/3cm です。

下の図8のように長さがわかるので、

 Pic_3839a

平行四辺形STUV の面積は、

  2×4-( 4/3 × 8/3 ÷2 ×2 + 4/3 × 2/3 ÷2 ×2 )

= 8 -  40/9

= 32/9 = 3と5/9 (c㎡)

と求められます。

 

 

 (3)(ア)三角すいACFH の体積は、直方体から、

4つの三角すい、ABCF、ACDH、AEFH、CFGH を除けばよく、

三角すいABCF と三角すいCFGH が同じ形で、

三角すいACDH と三角すいAEFH が同じ形なので、

三角すいACFH の体積は、

  2×3×4-(2×3÷2×4÷3×2+3×4÷2×2÷3×2)

=24-16=8c㎥

と求められます。

 

 (3)(イ)三角すいACFH が三角すいBDEG の面によって

切り取られる部分について考えます。(残った部分が共通部分)

 

下の図9のように、面DEG によって、三角すいH-IJK が

切り取られます。( I はDE とAH、JはFHとEG、KはCHとDG

のそれぞれの交点で、それぞれのまん中の点です)

     Pic_3840a

三角すいH-IJKは、三角すいH-ACF と相似で、

相似比が 1 : 2 なので、体積比は、

   1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8

です。(ア)より、三角すいH-ACF の体積は 8c㎥ なので、

三角すい H-IJK の体積は、1c㎥ です。

 

次に、下の図10のように面BDE によって、三角すいA-ILM が

切り取られます。( LはBE とAF、MはBD とAC のそれぞれの

交点で、それぞれのまん中の点です)

     Pic_3841a

三角すいA-ILMは、三角すいA-HDC と相似で、

図9と同様に相似比が 1 : 2 なので、体積比は、

   1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8

です。(ア)より、三角すいA-HDC の体積は 8c㎥ なので、

三角すい A-ILM の体積は、1c㎥ です。

 

次に、下の図11のように面BDG によって、三角すいC-KMN

が切り取られます。( NはBG とCF の交点で、それぞれの

まん中の点です)

     Pic_3842a

図9、図10と同様に、三角すいC-KMNの体積は 1c㎥ です。

 

さらに、下の図12のように面BEG によって、三角すいF-JLN

が切り取られます。

     Pic_3843a

三角すいF-JLN も同様に、体積は1c㎥ です。

 

切り取られる部分は、図9~図12の4つの三角すいで、

共通部分の体積は、8-1×4=4c㎥ と求められます。

 

 

 (4)図6、図7より、下の図13のように、三角すいACFH と

面WXYZ の交わりが、平行四辺形STUV となります。

     Pic_3844a_2

次に、三角すいBDEG と面WXYZ の交わりは、

下の図14の平行四辺形S’T’U’V’になります。

     Pic_3845a

図13、図14を合わせた部分が(3)(イ)に含まれる部分で、

下の図15の青い部分となります。

 Pic_3846a

平行四辺形STUVは、S’V’、WY,T’U’により 4等分される

ので、求める面積は、平行四辺形STUV の面積の半分で、

(2)より、

   32/9 ÷ 2 = 16/9 = 1と7/9(c㎡)

となります。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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