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2014年5月 2日 (金)

規則性の問題 数の並び 第73問 (筑波大学附属駒場中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 入試問題 2014年 算数)

     難易度★★★

 

(1)次のように4ケタの数が並んでいます。

    1番目の数   1 1 1 1

    2番目の数   5 4 3 2

    3番目の数   9 7 5 3

    4番目の数   3 0 7 4

    ・・・・・・・・・   ・・・・・・・・

これらの数の一の位は、

 1から1ずつ増えていく数1,2,3,4,・・・ の一の位の数。

十の位は

 1から2ずつ増えていく数1,3,5,7,・・・ の一の位の数。

百の位の数は

 1から3ずつ増えていく数1,4,7,10,・・・ の一の位の数。

千の位は

 1から4ずつ増えていく数1,5,9,13,・・・ の一の位の数。

(ア)100番目の数を答えなさい。

(イ)1番目から100番目までの数のうち、6の倍数は何個

   ありますか。

 

(2)次のように6ケタの数が並んでいます。

    1番目の数   1 1 1 1 1 1

    2番目の数   7 6 5 4 3 2

    3番目の数   3 1 9 7 5 3

    4番目の数   9 6 3 0 7 4

    ・・・・・・・・・   ・・・・・・・・・・・・

これらの数の一の位から千の位までは(1)と同じで、

万の位は

 1から5ずつ増えていく数1,6,11,16,・・・の一の位の数。

十万の位は

 1から6ずつ増えていく数1,7,13,19,・・・の一の位の数。

(ア)1番目から2014番目までの数の各ケタに、数字の【1】は

   何個ありますか。

(イ)1番目から2014番目までの数のうち、8の倍数は何個

   ありますか。

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解答

 (1)(ア)各ケタの数の規則性は、

一の位の数は、1→2→3→4→・・・→0→1→・・・ 

十の位の数は、1→3→5→7→9→1→・・・

百の位の数は、1→4→7→0→3→6→9→2→5→8→1→・・・

千の位の数は、1→5→9→3→7→1→・・・

となり、

 一の位と百の位の数は10個のくり返し

 十の位と千の位の数は5個のくり返し

なので、5と10の最小公倍数は10なので、

以下のように10個のくり返しとなります。

 1番目・・・・・1 1 1 1

 2番目・・・・・5 4 3 2

 3番目・・・・・9 7 5 3

 4番目・・・・・3 0 7 4

 5番目・・・・・7 3 9 5

 6番目・・・・・1 6 1 6

 7番目・・・・・5 9 3 7

 8番目・・・・・9 2 5 8

 9番目・・・・・3 5 7 9

 10番目・・・・・7 8 9 0

 11番目・・・・・1 1 1 1

よって、□番目の数は、□÷10をしたときの余りの数と

対応する1~10番目の数となり、(割り切れるときは10番目)

100番目の数は、100÷10=10あまり0 なので、

10番目の数と同じで、7890 です。

 

(1)(イ)6の倍数は、【3で割り切れる偶数】で、まず、

1番目~10番目のうち、2,4,6,8,10番目が偶数です。

3の倍数は、各位の数の和が3で割り切れる数なので、

8番目と10番目が6の倍数とわかります。

 

6の倍数は、10番目までに2個あるので、100番目までには、

2×(100÷10)=20個 あることがわかります。

 

 (2)(ア)万の位の数は、1→6→1→・・・ の2個のくり返しで、

十万の位の数は、1→7→3→9→5→1→・・・ と5個のくり返し

となります。

 

2と5の最小公倍数も10なので、6ケタの場合も、10番目までの

数のくり返しとなることがわかります。

 

10番目までの数に、【1】の数は、(1)の4ケタまでの場合で、6個

万の位には5個、十万の位には2個あるので、6+7=13個です。

 

2014÷10=201あまり4 より、4番目までに【1】の数は7個

あるので、2014番目までの【1】の数は、

 201×13+7=2620個

とわかります。

 

 (2)(イ)8の倍数は、【下3ケタが8で割り切れるもの】なので、

2番目と6番目が8の倍数です。

 

よって、2014番目までの8の倍数の個数は、

 201×2+1=403個

とわかります。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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