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2014年5月20日 (火)

図形の回転 第26問 (甲陽学院中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (甲陽学院中学 入試問題 2014年 算数) 

     難易度★★★

 

下の図のような直角三角形を底面とする三角柱がありいます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3854q

(1)辺ADを軸として、この三角柱を90度回転させます。

  (ア)三角形ABC が通過する部分の面積を求めなさい。

  (イ)長方形BEFC が通過する部分の体積を求めなさい。

(2)辺BE を軸として、この三角柱を1回転させるとき、

   長方形ADFC が通過する部分の体積を求めなさい。

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解答

 (1)(ア)三角形ABC が通過する部分は、下の図1の

赤い部分で、

  Pic_3855a

  20×15÷2+25×25×3.14×90/360

= 150+490.625

= 640.625(c㎡)

となります。

 

 (1)(イ)長方形BEFC が通過する部分を真上から見ると

下の図2の赤い部分となり、

  Pic_3856a_2

この面積は、

  640.625 -(20×15÷2 +20×20×3.14×90/360)

=640.625 - 464

=176.625(c㎡)

なので、長方形BEFC が通過する部分の体積は、

  176.625×10=1766.25(c㎥)

となります。

 

 (2)辺BE を軸として、この三角柱を回転させたものを

真上から見ると、下の図3のようになり、長方形ADFC が

通過する部分は、辺AC が通過する部分となり、図3の

赤い部分となります。

 Pic_3857a

Bから辺ACに下ろした垂線BG が、軸となるBから辺AC への

最短の線で、BG の長さは、

  20×15÷25=12cm

なので、辺AC が通過する部分の面積は、

  20×20×3.14-12×12×3.14

=(400-144)×3.14=256×3.14(c㎡)

です。

 

よって、長方形ADFC が通過する部分の体積は、

 256×3.14×10=8038.4(c㎥)

と求められます。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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