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2014年5月22日 (木)

立体図形の体積比 第9問 (洛南高校附属中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (洛南高校附属中学 入試問題 2014年 算数)

     難易度★★★☆

 

下の図1のような 2つの円すい【ア】と【イ】があります。

【ア】の底面の円の半径は、【イ】の底面の半径の 1/2倍です。

【ア】の高さは、【イ】の高さの2倍です。このとき、次の比を

最も簡単な整数の比で表しなさい。

 Pic_3858q

(1)【ア】の体積  :  【イ】の体積

(2)下の図2のように重ねたとき、

   【ア】の体積  :  【ア】と【イ】の重なった部分の体積

  Pic_3859q

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解答

 (1)【ア】の底面の円の半径を1、【イ】の底面の円の半径を2、

【ア】の高さを2、【イ】の高さを1 とします。

 

 【ア】の体積=1×1×3.14×2÷3

 【イ】の体積=2×2×3.14×1÷3

なので、

 【ア】の体積 : 【イ】の体積 = 1×1×2 : 2×2×1

= 1 : 2

となります。

 

 (2)下の図3のように、真横から図2を見て、それぞれの点を

A,B,C,D,E,F,P,Q,R,S とします。

          Pic_3860a_2

A は、Qから底面と平行に引いた線とPC の交点です。

【ア】と【イ】の重なった部分は、図3の青い部分と黄色い部分に

分けることができます。

 

QがPSのまん中で、CD=CS なので、

AQ : CS = 1:2 、AQ : CD = 1:2 となり、

AB : BC = QR : RS = 1:2 とわかります。

 

PS=6、CS=3 とすると、BR=2、PR=4、PQ=3 です。

 

三角形PBE と 三角形PCF は相似で、相似比は、2 : 3 より、

三角形PBE の円すい と 三角形PCF の円すい【ア】 の体積比は

  2×2×2 : 3×3×3 = 8 : 27

なので、図3の黄色い部分の体積は、【ア】=27 とすると、

  27-8=19

です。

 

次に、三角形PBE の円すいと 三角形QBE の円すいは、

高さが 4 : 1 です。この2つの円すいは、底面積が等しい

ので、体積の比=高さの比 となり、図3の青い部分の体積は、

【ア】の体積=27 とすると、8÷4=2 になります。

 

よって、【ア】と【イ】の重なっている部分の体積は、

【ア】の体積=27 とすると、

  19+2=21

となるので、 【ア】の体積 : 【ア】と【イ】の重なった部分の体積

 = 27 : 21

 = 9 : 7

です。

 

 

 洛南高校附属中学の過去問題集は → こちら

 洛南高校附属中学の他の問題は → こちら

 

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