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2014年5月 9日 (金)

立体図形の切り口 第62問 (西大和学園中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (西大和学園中学 入試問題 2013年 算数)

     難易度★★★★

       Pic_3645q

上の図のような立方体ABCD-EFGHがあります。

AP : PD = DQ : QC = 1 : 2 、GR : RH = 3 : 2 で、

3点P,Q,R を含む平面で、この立方体を切断します。

切断してできた2つの立体のうち、点Hを含む方の立体の

体積が13c㎥ であるとき、点Bを含む方の立体の体積を

求めなさい。なお、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3

として求めることができます。

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解答

 PD : DQ = 2 : 1、HR : RG = 2 : 3 なので、下の図1の

ように、HR : HS = 2 : 4 となる辺EH上の点Sを切り口の

面は通ります。

Pic_3646a

図1の比を合わせて、立方体の1辺の長さを15とすると 、

下の図2のように描くことができます。

Pic_3647a

立方体の体積は、15×15×15=3375

点Hを含む立体は、DQ : HR = 5 : 6 なので、三角形HRSを

底面とする、高さ15×6=90 の三角すいの、上の5/6を切った

三角すい台で、この体積は、

  6×12÷2×90÷3-5×10÷2×75÷3

=1080-625=455

となるので、点Bを含む立体の体積は、

 3375-455=2920

となります。

 

実際は、455が13c㎥ に相当するので、2920は、

  13÷455×2920=584/7=83と3/7(c㎥)

と求められます。

 

 

 西大和学園中学の過去問題集は → こちら

 西大和学園中学の他の問題は → こちら

 

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