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2014年5月 8日 (木)

平面図形の面積 第96問 (洛星中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★★

     Pic_3649q

上の図1の三角形ABCにおいて、AD=DB で、DE とBCは

平行です。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)DF : FC を求めなさい。また、三角形ADCの面積は

   三角形EFCの面積の何倍ですか。

 

次に、下の図2のようにCDを点Dの方向に伸ばした先に点Gを

とったところ、三角形ADGの面積と三角形EFCの面積が等しく

なりました。(図は正確とは限りません)

     Pic_3650q

(2)GD : FC を求めなさい。

(3)4点A,G,B,F をこの順に結んでできる四角形AGBFの

   面積は三角形EFCの面積の何倍ですか。

 

さらに、下の図3のようにBEを点E の方向に伸ばした先に点Hを

とったところ、三角形AEHの面積と三角形EFCの面積が等しく

なりました。(図は正確とは限りません)

     Pic_3651q

(4)4点B,C,H,G をこの順に結んでできる四角形BCHGの

   面積は三角形EFCの面積の何倍ですか。

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解答

 (1)中学校で習う【中点連結定理】の証明のような問題です。

AD=DB なので、三角形ADE と三角形BDE の面積は等しく、

また、BC とDE が平行なので、下の図4のように、三角形BDE

と三角形CDE は面積が等しいことがわかります。

     Pic_3652a

よって、三角形ADEの面積と三角形CDE の面積が等しいので

  AE = CE

ということがわかります。

 

このことから、三角形ADE と三角形ABCは相似であることが

わかり、DE : BC = 1 : 2 、DF : FC = 1 : 2 で、

三角形EFC の面積は、三角形CDE の面積の 2/3倍 です。

 

三角形CDEの面積を<1>とすると、

     三角形ADCの面積は<2>

     三角形EFCの面積は<2/3>

なので、三角形ADCの面積は、三角形EFCの面積の

    2 ÷ 2/3 = 3倍

と求められます。

 

 (2)三角形DEFの面積=①とすると、(1)より、

下の図5のように三角形EFC=②、三角形ADE=③となり、

     Pic_3653a

GD : CD = 三角形ADGの面積 : 三角形ADCの面積

       = 2 : 6 = 1 : 3

とわかり、DF : FC = 1 : 2 なので、

   GD : DF : FC = 1 : 1 : 2

と求められ、GD : FC = 1 : 2 です。

 

 (3)(1)、(2)より、下の図6のように、

    三角形BDGの面積=②

    三角形BDFの面積=②

    三角形ADFの面積=②

とできるので、

     Pic_3654a_2

四角形AGBFの面積=⑧で、三角形EFCの面積の4倍です。

 

 (4)下の図7のように、

    三角形CEHの面積=②

    三角形AEFの面積=②

となります。

     Pic_3655a_2

また、三角形AGBの面積 = 三角形FGBの面積 なので、

    AF と GB が平行

三角形ACHの面積 = 三角形FCHの面積 なので、

    AF と HC が平行

とわかり、GB と HC が平行とわかります。

 

さらに、同様に三角形BCGの面積 = 三角形BCHの面積 より、

    BC と GH が平行

ということがわかり、四角形BCHGは平行四辺形です。

 

よって、下の図8のように、

   三角形FGHの面積=三角形BCFの面積=④

となるので、

     Pic_3656a

四角形BCHGの面積は、三角形EFCの面積の8倍とわかります。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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