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2014年5月30日 (金)

場合の数 図形の選び方 第24問 (栄光学園中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (栄光学園中学 入試問題 2013年 算数) 

     難易度★★★★☆

 

下の図のように、同じ点Oを中心とする半径2cmの大円と

半径1cmの小円があります。大円の円周上に 6つの点

A~F が等間隔に並んでいて、小円の円周上に 8つの点

G~N が等間隔に並んでいます。また、3つの点A,G,O

は同じ直線上に並んでいます。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_3871q

(1)点A~F から2つ、点G~N から1つ選んで結んだときに

   三角形にならない場合を、下の例にならって全て答えなさい。

  (例)3つの点A,B,G を選ぶ場合 : (A,B,G)

(2)点A~F から2つ、点G~N から1つ選んで結んだときに

   できる三角形の形について考えます。ただし、回転したり

   裏返したりして、ぴったり重なる三角形は同じ種類として

   考えます。

  (ア)1つの辺が大円の直径となる三角形の形は何種類

     ありますか。

  (イ)三角形の形は全部で何種類ありますか。

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解答

 (1)まず、一直線に並んでいる A,D,G,K を選んだ場合に

三角形を作ることが出来ません。

 

次に、下の図1の三角形ABF を見てみます。

 Pic_3872a

三角形ABF は、AB=AF、角BAF=120°の二等辺三角形

なので、角ABF=30°で、三角形ABOが正三角形なので、

角BAG=60°より、角AGB=90°とわかります。

角AGB+角AGF=180°となるので、B,G,F は一直線

並ぶことが理解できます。

 

よって、(B,F,G)を選んだ場合も三角形を作ることはできず、

同様に、(C,E,K)もできません。

 

ゆえに、三角形を作ることができないのは、

 (A,D,G)、(A,D,K)、(B,F,G)、(C,E,K)

を選んだ場合です。

 

 (2)(ア)1つの辺の長さが大円の1辺と等しくなるのは、

A~F から選ぶ2点が、AとD,BとE,CとF のように

円の中心と向き合うようになった場合です。

 

AとD を選んだ場合に作れる三角形は、

 1種類目:(A,D,H)、(A,D,J)、(A,D,L)、(A,D,N)

 2種類目:(A,D,I )、(A,D,M)

の2種類です。

 

BとE を選んだ場合に作れる三角形は、

 1種類目:(B,E,H)、(B,E,L)

 2種類目:(B,E,G)、(B,E,K)

 3種類目:(B,E,N)、(B,E,J)

 4種類目:(B,E,M)、(B,E,I )

の4種類です。

 

CとF を選んだ場合は、BとE を選んだ場合と同じ4種類です。

 

よって、6種類の三角形ができることになります。

 

 (2)(イ)点A~F から2点を選んだときにできる辺の長さは

ABの長さのものと、ACの長さのものがあります。

((ア)でADの長さのものが6種類あるとわかっています)

 

ABの長さの1辺を持つ三角形は、図の対称性から、

AB,AF,CD,DE を選んだ場合と BC,EF を選んだ場合

の2通りに分けられます。

 

ABを選んだ場合に作ることができる三角形の形は、

残りの1つの点がG~N の8種類があります。

 

BCを選んだ場合に作ることができる三角形の形は、

残りの1つの点が I ~M の5種類があります。

(G=K,H=J、N=L)

 

次に、ACの長さの1辺を持つ三角形は、図の対称性から、

AC,AE,BD,DF を選んだ場合と、BF,CE を選んだ場合

の2通りに分けられます。

 

ACを選んだ場合に作ることができる三角形の形は、

下の図2のように

 Pic_3873a

直線BEに対して点G~Nは対称になっていない

(角BOHと書くBOI が等しくない)ので、

残りの1つの点が G ~N の8種類があります。

(直線BE に対して点G~Nが対称なら、H=I,G=J,

 N=K,M=L の4種類になるが、そうではない)

 

BFを選んだ場合に作ることができる三角形の形は、

残りの1つの点が H ~K の4種類があります。

(G:作れない、H=N,I=M,J=L )

 

よって、作ることができる三角形の種類は、

 6+8+5+8+4=31種類

あります。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

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