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2014年5月21日 (水)

図形の回転 第27問 (桜蔭中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (桜蔭中学 入試問題 2012年 算数) 難易度★★★

 

下の図で、三角形ABCは、AB=26cm、BC=10cm、

CA=24cm の直角三角形です。また、四角形ACDE は

長方形で、CD=5cm です。四角形ABDE を直線AC の

まわりに1回転してできる立体について、次の問に答えなさい。

      Pic_3861q

(1)体積を求めなさい。ただし、円すいの体積は、

   【底面積】×【高さ】÷3 で求めることができます。

(2)表面積を求めなさい。

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解答

 (1)四角形ABDE を直線AC のまわりに1回転してできる立体

は、下の図1のようになります。

     Pic_3862a

この立体は、図1のAF の高さの円柱と、CF の高さの円すい台

に分けることができ、AF=CF=12cm なので、

 円柱の体積

   =5×5×3.14×12=300×3.14

 円すい台の体積

   =10×10×3.14×24÷3-5×5×3.14×12÷3

   =700×3.14

より、求める体積は、

   (300+700)×3.14=1000×3.14

  =3140(c㎥)

となります。

 

 (2)円柱の部分の表面積は、

  5×5×3.14+5×2×3.14×12=145×3.14(c㎡)

となります。

 

次に、円すい部分を考えます。下の図2のように、高さAC の

大きい円すいと考えると、この円すいの展開図は下の扇形に

なります。

    Pic_3863a

扇形の中心角の大きさ/360°=円すいの半径/円すいの母線

                   =10/26=5/13

と求められるので、円すい台の部分の表面積は、

 (26×26-13×13)×3.14×5/13+10×10×3.14

=(195+100)×3.14=295×3.14(c㎡)

です。

 

よって、求める表面積は、

   (145+295)× 3.14

 = 440 × 3.14

 = 1381.6(c㎡)

です。

 

 

 桜蔭中学の過去問題集は → こちら

 桜蔭中学の他の問題は → こちら

 

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