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2014年5月16日 (金)

平面図形の長さ 第48問 (神奈川大学附属中学 入試問題 2011年(平成23年度) 算数)

問題 (神奈川大学附属中学 入試問題 2011年 算数)

     難易度★★★★

下の図の平行四辺形ABCD の面積は105c㎡ です。

辺ABを 2:3 に分ける点をE とし、辺AD上に点F を

とります。四角形ECGF が平行四辺形になるように点G

をとり、GF とDC の交わる点をP とします。このとき

次の問に答えなさい。

Pic_3827q

(1)AF の長さが4cmのとき、DPの長さは何cmですか。

(2)(1)のとき、平行四辺形ECGF の面積は何c㎡ですか。

(3)平行四辺形ECGF の面積が84c㎡ のとき、AFの長さ

   は何cmですか。

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解答

 (1)AE=4cm、BE=6cm、DF=8cm です。

下の図1の三角形BCE と三角形DFP は

CE とGF が平行なので、3つの角度が等しくなり、相似です。

Pic_3828a_2

6 : 12 = DP : 8 となるので、DP=4cm です。

 

 (2)三角形CEF の面積は平行四辺形ECGF の半分なので

三角形CEF の面積を求めます。

下の図2のように、台形ABCF から三角形AEF,三角形BCE を

除けば求めることができます。

Pic_3829a

平行四辺形の高さは、105÷12=35/4cm で、

台形ABCF の面積=(4+12)×35/4÷2=70c㎡ です。

三角形AEF と 三角形BCE の高さの比は、

 AE : EB = 4 : 6 = 2 : 3

なので、14/4cm、21/4cm となり、

 三角形AEF の面積=4×14/4÷2=7c㎡

 三角形BCE の面積=12×21/4÷2=31.5c㎡

と求められ、

 平行四辺形CEFGの面積={70-(7+31.5)}×2

                 =63c㎡

です。

 

 (3)下の図3の三角形CEP の面積は、平行四辺形CEFG の

面積の半分なので、42c㎡ です。

Pic_3830a

すると、台形BCPE の面積=42+31.5=73.5c㎡ です。

平行四辺形ABCD を辺ABを底辺としたときの高さは、

  105÷10=10.5cm

なので、PC の長さは、

 ( □ + 6)×10.5÷2=73.5

より、□=8cm とわかります。

よって、DP=10-8=2cm で、(1)より、FD=2×2=4cm、

AF=12-4=8cm と求められます。

 神奈川大学附属中学の他の問題は → こちら

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