平面図形の角度 第９０問 （開成中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（開成中学　受験問題　2014年　算数）　難易度★★★☆

上の図は、三角形ＡＢＣ と半径が ９ｃｍの円の一部と
半径が ３ｃｍの円の一部を組み合わせた図形です。

ＰからＱまでの曲線の長さは、ＱからＲまでの曲線の
長さの５倍です。このとき、図の【あ】、【い】の角度、
色のついた部分の面積を求めなさい。

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解答

　ＰからＱまでの曲線の長さは、９×２×３．１４×あ/３６０
　ＱからＲまでの曲線の長さは、３×２×３．１４×い/３６０

で、この比が ５ ： １ なので、

　９×あ　：　３×い　＝　５　：　１

ということで、内項の積＝外項の積 より、

　９×あ　＝　１５×い

で、これを比に戻すと、

　あ　：　い　＝　１５　：　９　＝　５　：　３　・・・　【★】

とわかります。

角Ａ＝２０°より、角ＡＢＣ＋角ＡＣＢ＝１８０－２０＝１６０°です。

　　 あ＋い＋１６０＝１８０＋１８０＝３６０°

なので、

　　 あ＋い＝２００°

です。

【★】より、

　　 あ＝２００÷（５＋３）×５＝１２５°

　　 い＝２００÷（５＋３）×３＝７５°

と求められ、灰色の部分の面積は

　 　９×９×３．１４×１２５/３６０＋３×３×３．１４×７５/３６０

＝（９×２５/８　＋　１５/８）×３．１４

＝ ３０×３．１４ ＝ ９４．２ｃ㎡

です。

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