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2014年4月11日 (金)

場合の数 並べ方 第76問 (甲陽学院中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数) 

 

問題 (甲陽学院中学 受験問題 2014年 算数) 

     難易度★★★★★

 

3ケタの整数の中で、各位の和が各位の積以上となるものを

考えます。

 

(1)このような3ケタの整数のうち、百の位が9であるものは

   何個ありますか。

(2)このような3ケタの整数のうち、百の位が1であるものは

   何個ありますか。

(3)このような3ケタの整数は全部で何個ありますか。

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解答

 (1)百の位が 9 の3ケタの整数を 9■▲とすると、

条件は、

   9+■+▲ ≧ 9×■×▲

です。

 

9+■+▲ の最大は、999の場合の 9+9+9=27 なので、

   27 ≧ 9×■×▲

で、

    3 ≧ ■×▲

となります。

 

この条件を満たす■と▲は、■と▲に0を含まないものは、

(■、▲)=(3,1)、(1,3)、(2,1)、(1,2)、(1,1)の5個

■と▲に0を含むものは、

(■、▲)=(1,0)、(2,0)~(9,0)、

       (0,0)、(0,1)、(0,2)~(0,9) の19個

があります。

 

これら 24個が、9+■+▲ ≧ 9×■×▲を満たすか調べると、

■と▲に0を含むものは、9×■×▲=0 となるので、条件を

満たします。

■と▲に0を含まないものは、(1,1)のみ条件を満たします。

 

よって、百の位が9のもので、条件を満たすのは、

 19+1=20個

となります。

 

 (2)百の位が 1 の3ケタの整数を 1■▲とすると、

条件は、

   1+■+▲ ≧ ■×▲

です。

 

1+■+▲ の最大は、199の場合の 1+9+9=19 なので、

   19 ≧ ■×▲

となります。

 

この条件を満たすものは、(1)と同様に考えると、

■と▲に0を含むものは、19個あります。

■と▲に0を含まないものは、

(■、▲)=(1,1)、(1,2)~(1,9)、(2,1)、(2,2)~(2,9)

       (3,1)、(3,2)~(3,6)、(4,1)、(4,2)~(4,4)

       (5,1)、(5,2)、(5,3)、(6,1)、(6,2)、(6,3)

       (7,1)、(7,2)、(8,1)、(8,2)、(9,1)、(9,2)

の40個あります。

 

このうち、1+■+▲ ≧ ■×▲ を満たすものは、

■と▲に0を含む19個と、

(1,1)、(1,2)~(1,9)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、

(3,2)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(7,1)、(8,1)、(9,1)

の20個があるので、百の位が1のもので、条件を満たすのは、

 19+20=39個

です。

 

 (3)百の位の数によって考えると、

1+■+▲≧1×■×▲ → 19≧■×▲

2+■+▲≧2×■×▲ → 20≧2×■×▲ → 10≧■×▲

3+■+▲≧3×■×▲ → 21≧3×■×▲ → 7≧■×▲

4+■+▲≧4×■×▲ → 22≧4×■×▲ → 5.5≧■×▲

5+■+▲≧5×■×▲ → 23≧5×■×▲ → 4.6≧■×▲

6+■+▲≧6×■×▲ → 24≧6×■×▲ → 4≧■×▲

7+■+▲≧7×■×▲ → 25≧7×■×▲ → 25/7≧■×▲

8+■+▲≧8×■×▲ → 26≧8×■×▲ → 3.25≧■×▲

9+■+▲≧9×■×▲ → 27≧9×■×▲ → 3≧■×▲

となり、■と▲に0を含むと、それぞれ19個が条件を満たします。

 

■と▲に0を含まない場合について考えます。

 

百の位が2の場合、10≧■×▲ を満たすのは、

 (1,1)~(1,9)、(2,1)~(2,5)、(3,1)~(3,3)、

 (4,1)(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)~(9,1)

の25個あり、このうち、2+■+▲≧2×■×▲ を満たすのは

 (1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(3,1)

の5個です。

 

百の位が3の場合、7≧■×▲ を満たすのは、

 (1,1)~(1,7)、(2,1)~(2,3)、(3,1)、(3,2)

 (4,1)、(5,1)、(6,1)、(7,1)

の16個あり、このうち、3+■+▲≧3×■×▲ を満たすのは

 (1,1)、(1,2)、(2,1)

の3個です。

 

百の位が4の場合、5.5≧■×▲ を満たすのは、

 (1,1)~(1,5)、(2,1)、(2,2)、(3,1)~(9,1)

の14個あり、このうち、4+■+▲≧4×■×▲ を満たすのは

 (1,1)

のみです。

 

ここまでで、以降、百の位が5,6,7,8 の場合も、

条件を満たすのは、(■、▲)=(1,1)の場合のみとわかります。

 

よって、条件を満たす3ケタの整数の数は、

   19×9+(20+5+3+1×6) 

 =171+34=205個

です。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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