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2014年4月 4日 (金)

場合の数 並べ方 第75問 すごろく (大阪星光学院中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (大阪星光学院中学 入試問題 2012年 算数) 

     難易度★★★★

 

下の図のように、六角形ABCDEF があり、1個のサイコロを

振り、出た目の数だけ反時計回りに頂点を移動するコマが

あります。最初にコマは頂点A にあり、A に再び止まったとき

サイコロを振るのをやめます。

 【例】 A → (2の目) → C → (5の目) → B → ・・・

      Pic_3406q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)2回サイコロを振って、初めて頂点Dに止まるサイコロの

   目の出方は何通りありますか。

(2)3回サイコロを振って、初めて頂点Dに止まるサイコロの

   目の出方は何通りありますか。

(3)5回サイコロを振って、初めて頂点Aに止まるサイコロの

   目の出方は何通りありますか。

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解答

 (1)地道に数えてみると、

DはAから 3 進む、または 9 進めば着きます。

A,Dに止まるとサイコロが振れないことに注意すると、

3=1+2、2+1

9=5+4、4+5、

   3+6(Dに止まるので不適)、6+3(Aに止まるので不適)

となり、4通り の目の出方があることがわかります。

 

 

<別解>

下の図1のように、1回サイコロを振って、A,Dに止まらない

目の出方は 4通り あります。

  Pic_3803a

B,C,E,F の4点から、Dに止まるには、2回目のサイコロの

目は1通りしかありません。(下の図2参照)

       Pic_3804a

よって、2回サイコロを振って初めてDに止まるサイコロの目の

出方は、4通り となります。

 

 (2)地道に数えてみると、

DはAから 3 または 9 または 15 進めば着きます。

サイコロの目を(1回目,2回目,3回目)で表すと、

3=(1,1,1)

9=(1,3,5)、(5,3,1)、(1,4,4)、(4,1,4)、(4,4,1)

   (1,6,2)、(2,6,1)、(2,2,5)、(2,5,2)、(5,2,2)

   (2,3,4)、(4,3,2)

15=(5,5,5)、(4,5,6)、(4,6,5)、(5,4,6)、(5,6,4)

以上、16通り があります。

 

  

<別解>

 図1のあと、たとえば点F に止まったとすると、次に出てよい

サイコロの目は、下の図3のように、4通り(A,D以外に止まる)

となります。点B,C,E でも同様に4通りの目の出方があります。

   Pic_3805a

3回目の目の出方は、図3のそれぞれの点から、点Dに止まる

目が出ればよいので、4つの点で、それぞれ1通りしかなく、

3回目で初めて点Dに止まる目の出方は

  4×4×1=16通り

となります。

 

 

 (3)1回目のサイコロを振ると、Aに止まらない目の出方は5通り

2回目のサイコロを振ると、Aに止まらない目の出方は5通り

3回目、4回目も、Aに止まらない目の出方は5通りあり、

5回目に、4回目の位置からAに止まる目の出方は1通り。

 

よって、5回目に初めてAに止まる目の出方は、

 5×5×5×5×1=625通り

となります。(樹形図にしてみましょう)

 

 

 大阪星光学院中学の過去問題集は → こちら

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

 

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