数の性質 第８９問 倍数 （洛星中学 入試問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（洛星中学　入試問題　2014年　算数）　難易度★★★★

（１）１３ と １４ のような、２ケタの連続した２つの整数を考えます。

　　 このような ２つの整数のうち、積が １１２ で割り切れるような

　　 組み合わせをすべて答えなさい。答は （１３，１４）のように、

　　 小さい順に書きなさい。

（２）１４ と １６ のような、２ケタの連続した２つの偶数を考えます。

　　 このような２つの偶数のうち、積が １６０ で割り切れるような

　　 組み合わせをすべて求めなさい。答は （１４，１６）のように

　　 小さい順に書きなさい。

（３）２４ と ２６ と ２８ のような、１０以上２００以下の連続した

　　 ３つの偶数を考えます。このような ３つの偶数のうち、３つの

　　 数の積が ２３０４ で割り切れるような組み合わせをすべて

　　 求めなさい。答は （２４，２６，２８）のように、小さい順に書き

　　 なさい。

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解答

　（１）１１２＝２×２×２×２×７ なので、２つの整数の積に、

２が４個、，７が１個入っていれば、２つの整数の積は、１１２ で

割り切れます。

７の倍数について、となり合う整数（＋１、－１したもの）との

積を考えます。

　７×１＝７　→　６、８　→　６＝２×３　、　８＝２×２×２　

　　　　　　　　→　７×６、７×８ ともに１１２で割り切れない

　７×２＝１４　→　１３，１５　

　　　　　　　　　→　１３，１５共に奇数なので、１１２で割り切れない

　７×３＝２１　→　２０，２２　→　２０＝２×２×５　、２２＝２×１１

　　　　　　　　　→　不適

　７×４＝２８　→　２７，２９　→　共に奇数なので、不適

　　　　　　　　　→　以降、７×偶数はすべて不適

　７×５＝３５　→　３４，３６

　　　　　　　　　→　７×奇数の場合、＋１、－１したものが

　　　　　　　　　　　 ８（２×２×２）の倍数でなければならない

　７×７＝４９　→　４８，５０　→　４８＝８×６ より、条件を満たす

　７×９＝６３　→　６２，６４　→　６４＝８×８ より、条件を満たす

　７×１１＝７７　→　７６，７９　→　不適

　７×１３＝９１　→　９０，９２　→　不適

以上より、条件を満たす組は、（４８，４９）、（６３，６４）です。

　（２）１６０＝４×４×１０＝２×２×２×２×２×５です。

連続する偶数Ａ，Ｂの積　：　Ａ　×　Ｂ　は、

　 Ａ　＝　２×ａ　、　Ｂ　＝　２×ｂ

と表せることから、４×ａ×ｂ　となります。

（ここで、ａ，ｂ は連続する２つの整数）

ですから、１６０÷４＝４０ より、連続する２つの整数のうち、

積が ４０ で割り切れるものを求めればよいことがわかります。

また、最大の積は、９６×９８＝４８×２×４９×２　より、

４８×４９ までとなります。

４０＝２×２×２×５　です。

（１）と同じ考え方で、５の倍数を基準として考え、

５の倍数×偶数 は、偶数＝８のときのみ考えます。

（５×８＝４０＜４９ なので）

５×１＝５　→　４，６　→　不適

５×３＝１５　→　１４，１６　→　１６＝８×２ より、条件を満たす

５×５＝２５　→　２４，２６　→　２４＝８×３ より、条件を満たす

５×７＝３５　→　３４，３６　→　不適

５×８＝４０　→　３９，４０　→　ともに条件を満たす

５×９＝４５　→　４４，４６　→　不適

以上より、条件を満たすものは、

　（１５，１６）、（２４，２５）、（３９，４０）、（４０，４１）

で、それぞれ ×２ をして、

　（３０，３２）、（４８，５０）、（７８，８０）、（８０，８２）

の４組の積が、１６０で割り切れます。

　（３）（２）と同様に、連続する３つの偶数は、２×Ａ，２×Ｂ，２×Ｃ

と表すことができるので、連続する３つの整数Ａ，Ｂ，Ｃ の積が

２３０４÷８＝２８８ で割り切れるものを求めればよいです。

最大の積は、１９６×１９８×２００＝９８×２×９９×２×１００×２

なので、１００までで考えます。

２８８＝２×１４４＝２×１２×１２＝２×２×２×２×２×３×３ で、

２×２×２×２×２＝３２ です。

連続する３つの整数が、（奇数、偶数、奇数） の場合

唯一の偶数＝３２ の倍数となり、

　（３１，３２，３３）、（６３，６４，６５）、（９５，９６，９７）

の ３通りが考えられますが、３×３を含むものは、

　（６３，６４，６５）

のみです。

連続する３つの整数が、（偶数、奇数、偶数） の場合

２×２×２×２×２　を、１６　と　２　とに分けて、２つの偶数に

含まれるものと考えることができます。

（ ８ と ４ に分けることはできません）

１６の倍数を基準とすると、

　（１４，１５，１６）、（１６，１７，１８） 、（３０，３１，３２）、

　（３２，３３，３４）、（４６，４７，４８）、（４８，４９，５０）、

　（６２，６３，６４）、（６４，６５，６６）、（７８，７９，８０）、

　（８０，８１，８２）、（９４，９５，９６）、（９６，９７，９８）

がありますが、条件（３×３を含む）を満たすのは、

　（１６，１７，１８）、（６２，６３，６４）、（８０，８１，８２）

の３通りです。

以上より、条件を満たすのは、

　　　（６３，６４，６５）、（１６，１７，１８）、

　　　（６２，６３，６４）、（８０，８１，８２）

なので、それぞれ２倍した

　　　（１２６，１２８，１３０）、（３２，３４，３６）、

　　　（１２４，１２６，１２８）、（１６０，１６２，１６４）

の４通りとなります。

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