« グラフを読む 第26問 (芝中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数) | トップページ | 場合の数 第74問 (筑波大学附属中学 受験問題 2006年(平成18年度) 算数) »

2014年3月28日 (金)

立体図形の切り口 第61問 (ラ・サール中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (ラ・サール中学 入試問題 2014年 算数)

     難易度★★★★

 

AB=AC=6cm の直角二等辺三角形を底面とし、AD=6cm

を高さとする三角すいがあります。下の図の点E,F はそれぞれ

辺DB,辺DC のまん中の点です。また、点G,H はそれぞれ

辺DB,辺AB上で、AG:GB=AH:HB=1:2 となる点です。

この三角すいを、次のそれぞれの平面で切るとき、辺ADを

含む方の立体の体積を求めなさい。ただし、角すいの体積は

底面積×高さ÷3 です。

       Pic_3791q

(1)3点A,E,F を通る平面で切るとき

(2)3点F,G,H を通る平面で切るとき

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)三角形ABC が直角二等辺三角形で、AB=AC=AD で

AD と面ABC が垂直なので、三角形ABD,ACD も直角二等辺

三角形で、3つの三角形は合同ということになります。

このことから、三角形BCD が正三角形であることがわかります。

 

3点A,E,F で、三角すいを切ると、下の図1のような切り口に

なり、求める体積は、三角すいE-AEF となります。

Pic_3792a

ここで、三角すいの体積=底面積×高さ÷3 で、

三角すいD-AEF を底面を三角形DEF と見立てると、

三角すいA-DEF となります。

 

三角すいA-DEF の体積は、三角形DEF ×高さ÷3 です。

この式と、元の三角すいを、三角形BCDを底面と見立てたときの

式 : 三角形BCD ×高さ÷3 と比べると、底面積だけが変わる

ことがわかります。

 

上の図2より、三角形DEF の面積は、三角形BCD の面積の

4分の1とわかるので(三角形BCD が正三角形なので)

求める体積も、元の三角すいの体積の 4分の1 で、

 (  6×6÷2×6÷3 ) ÷4 = 9c㎥

となります。

 

 (2)点G,点H ともにAB,DB を1:2 に分ける点なので、

GH と AD は平行になります。このことから、下の図3のように

点F からADに平行な線を引いて、AC との交点を点Pとすると、

三角すいを切る平面は、四角形FGHP となります。

      Pic_3793a

辺AD を含む方の立体の体積を求めるに当たって、やり方は

いろいろあると思いますが、今回は下の図4のように、

HG,PF を延ばし、点Dを通り三角形ABC と平行な平面との

交点を点Q,点R として、

  三角柱AHP-DQR が 面DFG で切られている

と考えます。

    Pic_3794a

これは、いわゆる切断三角柱AHP-DGFとなります。

切断三角柱の体積は、底面積×高さの平均 です。

底面積は、AH=2cm、AP=3cm、角HAPが直角より、

   2×3÷2=3c㎡

で、高さの平均は、GH=4cm、FP=3cm、AD=6cm より、

   (4+3+6)÷3=13/3cm

です。

 

よって、切断三角柱AHP-DFG の体積は、

 3×13/3=13c㎥

と求められます。

 

 

 ラ・サール中学の過去問題集は → こちら

 ラ・サール中学の他の問題は → こちら

 

|

« グラフを読む 第26問 (芝中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数) | トップページ | 場合の数 第74問 (筑波大学附属中学 受験問題 2006年(平成18年度) 算数) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/1219713/55502471

この記事へのトラックバック一覧です: 立体図形の切り口 第61問 (ラ・サール中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数):

« グラフを読む 第26問 (芝中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数) | トップページ | 場合の数 第74問 (筑波大学附属中学 受験問題 2006年(平成18年度) 算数) »