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2014年3月 4日 (火)

場合の数 第72問 (智辯学園和歌山中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (智辯学園和歌山中学 入試問題 2012年 算数)

     難易度★★★

 

1から20までの整数を2つずつ10組に分けます。これら10組の

中で、最大公約数が1となる組の個数が最も少なくなるような

分け方をしたとき、最大公約数が1となる組の個数は何組に

なりますか。

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解答

 1から20までの整数のうち、

  素数(1とその数以外に約数がない数)

は、2,3,5,7,11,13,17,19 があります。

このうち、2,3,5,7 には 20までに倍数があります。

 

最大公約数が1となる組を少なくするには、

11,13,17,19 を、これら同士で組にすればよいです。

   【(11,13)、(17,19)のように】

また、1と組む数は、必ず最大公約数は1となります。

 

1,11,13,17,19 以外の15個は、

  偶数が10個、3,5,7,9,15

なので、(3,9)、(5,15)を作り、(1,7)を作れば

残りはすべて偶数の組となります。

 

よって、最大公約数が1となる組が最も少なくなるとき、

その組の数は、3組です。

 (例:(11,13)、(17,19)、(1,7))

 

 

 智辯学園和歌山中学の過去問題集は → こちら

 智辯学園和歌山中学の他の問題は → こちら

 

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