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2014年2月27日 (木)

図形の移動 第54問 (大阪星光学院中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (大阪星光学院中学 受験問題 2014年 算数)

     難易度★★★

 

下の図において、三角形ABC は固定されており、台形DEFGは

3点A,G,D が一直線上になるような位置にあります。

台形DEFG はこの状態から毎秒1cmの速さで直線に沿って

矢印の方向に動きます。このとき次の問に答えなさい。

 Pic_3757q

(1)2つの図形が重なり始めるのは何秒後ですか。

(2)台形が動き始めてから8秒後の2つの図形の重なった

   部分の面積を求めなさい。

(3)点F が点Bと重なるのは、台形が動きだしてから何秒後

   ですか。また、このとき2つの図形の重なった部分の面積を

   求めなさい。

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解答

 (1)台形が毎秒1cmで動くので、求めればよいのは

AFの長さです。

 

A,G,Dが一直線に並んでいるので、三角形ADE と三角形AGF

が相似です。よって、AF=2÷6×8=8/3=2と2/3cm で、

2つの図形が重なり始めるのは、2と2/3秒後 です。

 

 (2)8秒後、ちょうど点E が点A と重なり、下の図1のように

なっています。

  Pic_3758a

求める面積は図1の四角形AFGP です。

 

ここで、三角形ABC と三角形HED が相似なので、

三角形APHは二等辺三角形となり、AHを底辺としたときの

三角形APHの高さは、DE の半分の3cmとなります。

 

よって、求める面積は、三角形APHの面積-三角形FGHで、

 8×3÷2 - 8/3×2÷2 = 28/3 = 9と1/3c㎡

となります。

 

 (3)点F と点B が重なるのは、12+8/3=14と2/3秒後 で、

重なった部分は、下の図2の五角形EFGQR となります。

 Pic_3759a_2

五角形EFGQR の面積の求め方はいろいろ考えられますが、

三角形ABC から三角形AER,CGQを除いて求めてみます。

 

QからABへ垂線を下ろし、交点をSとします。

    AH=12+8/3=44/3cm

で、(2)でも書きましたが、三角形AQHは二等辺三角形で、

     AS=SH=22/3cm

です。

 

よって、SB=22/3 - 8/3=14/3cm とわかり、

CG=7cmより、

  三角形CGQの面積=14/3×7÷2=49/3c㎡

と求められます。

 

次に、AE=12-EF=12-16/3=20/3cm で

三角形AERは三角形ABCと相似なので、

  ER=20/3 × 3/4=5cm

より、

  三角形AERの面積=20/3×5÷2=50/3c㎡

と求められます。

 

ゆえに、

 五角形EFGQRの面積=12×9÷2-(49/3+50/3)

                =21c㎡

となります。

 

 

 大阪星光中学の過去問題集は → こちら

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

 

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