速さ 第６７問 時計算 （開成中学 入試問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（開成中学　入試問題　2014年　算数）　難易度★★★★

ある世界では、

　１日が１０時間（午前５時間、午後５時間）、１時間が２５分、

　１分が２５秒

に区切られていて、下の図のような時計を用いて時間を計って

います。現在の時間は午後２時５分０秒で、時計の短針（黒）、

長針（白）、秒針は正しい時刻を指しています。この時計は

これからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

　

（１）これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を

　　 求め、そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。

（２）さらに時間が進んで最初に短針と長針がちょうど反対向き

　　 になる時刻を求め、そのときの時計の３本の針を図に

　　 表しなさい。

（３）現在（午後２時５分０秒）から、３本の針がすべて同じ向きに

　　 なって重なる回数を数えます。ちょうど１００回目となるのは

　　 何日後で、午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。

　　 ただし、現在から２時間２０分後の午前０時から１日後が

　　 始まるものとします。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

　（１）秒針は１秒で、３６０÷２５＝１４．４度　進みます。

長針は、１分で、１４．４度　進みます。

短針は、１時間で、３６０÷５＝７２度進み、

　　　　　 １分で、７２÷２５＝２．８８度進みます。

まず、長針と短針が重なる時刻を求め、そのときに秒針が

重なるかどうかで判断します。

２時の時点で、長針と短針は、１４４度はなれているので、

重なるのは、

　 １４４÷（１４．４－２．８８）

＝１４４÷１１．５２

＝１２．５分後

です。

長針の位置は、１２．５×１４．４＝１８０度 のところで、

　 １２．５分＝１２分１２．５秒後（この世界では）

なので、秒針の位置も同じとなります。

よって、長針、短針、秒針が重なるのは、

午後２時１２分１２．５秒 で、下の図１のようになります。

　

　（２）図１の状態から、長針と短針の作る角度が１８０度に

なる時刻を求めると、

　 １８０÷（１４．４－２．８８）＝１５と５/８分後

とわかります。

１２．５＋１５と５/８＝２８と１/８ より、２時２８分と１/８分で、

１時間が２５分なので、３時３分と１/８分。

１/８分＝２５×１/８＝３と１/８秒 なので、長針と短針が

反対向きになるのは、午後３時３分３と１/８秒です。

また、秒針と分針が重なることがわかります。

３時３分３と１/８秒を図に表すと、下の図２のようになります。

　

　（３）（２）より、長針が短針と１８０度はなれるとき、

長針と秒針が重なることがわかります。

つまり、この後、長針と短針が重なるとき、必ず秒針も重なる

ということになります。

（２）より、長針と短針が重なるのは、

　　 １５と５/８　×２　＝　３１と１/４分ごと

とわかります。

午後２時１２分１２．５秒を１回目として、３本の針が１００回目に

重なるのは、

　　３１と１/４　×　９９　＝１２５×９９/４＝１２３７５/４

　＝３０９３と３/４分後

　　３/４分＝２５×３/４＝１８と３/４秒

　　３０９３分＝３０９３÷２５＝１２３時間１８分

　　１２３時間＝１２３÷１０＝１２日と３時間

より、１２日と３時間１８分１８と３/４秒後 が１００回目で、

　　　 　 午後２時１２分１２と１/２秒 の

　　１２日と３時間１８分１８と３/４秒後は、

　　１２日と午後５時３０分３１と１/４秒後で、

　　１３日後の午前１時６分６と１/４秒

です。

　開成中学の過去問題集は　→　こちら

　開成中学の他の問題は　→　こちら