図形の移動 第５３問 （東大寺学園中学 入試問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2014年　算数）

　　　　 難易度★★★★

下の図１のような三角形ＡＢＣ と半径１ｃｍ の円Ｐ があります。

円Ｐを三角形ＡＢＣ の辺に沿って離れることなく、その内部を

一周させると、三角形ＡＢＣ の内部で円Ｐ が通らなかった

部分は、頂点Ａ，Ｂ，Ｃ の近くと中央の三角形ＤＥＦ の合わせて

４つあり、その面積は全部で ４７．８６ｃ㎡ でした。次に、円Ｐを

三角形ＤＥＦ の辺に沿って離れることなく、その外側を一周させた

ところ、三角形ＡＢＣ の内部で円Ｐ が通らなかった部分の面積

は全部で ５３．４４ｃ㎡ でした。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）（ア）三角形ＡＢＣ の内側を一周させたときに、円Ｐが

　　　　　通らなかった４つの部分のうち、頂点Ａ の近くの

　　　　　部分を下の図２に表しなさい。

　　　　　　

（１）（イ）三角形ＤＥＦ の外側を一周させたときに、円Ｐが

　　　　　通らなかった４つの部分のうち、頂点Ａ の近くの

　　　　　部分を下の図３に表しなさい。

　　　　　　

（２）三角形ＤＥＦ の面積を求めなさい。

（３）三角形ＡＢＣ の周りの長さは、三角形ＤＥＦ の周りの長さに

　　 比べて、どれだけ長いですか。

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解答

　（１）三角形ＡＢＣ の内側を円Ｐ が動くとき、頂点Ａ の近くでは

下の図４のように、辺ＤＥ、ＤＦ を延ばした線にはさまれる形で

円Ｐが動き、円Ｐ が通らない部分は、図４の青い部分となります。

　　　　　　

　（１）（イ）三角形ＤＥＦ の外側を円Ｐ が動くとき、頂点Ａ の近く

では、下の図５のように、Ｄを中心に、円Ｐの直径を半径として

動き、円Ｐ が通らない部分は、図５の赤い部分となります。

　　　　　　

　（２）図４と図５で表したのと同様に、頂点Ｂ，頂点Ｃ の近くで

点Ｐが通らない部分があります。それらをまとめると、

　三角形ＡＢＣ の内側を一周させたときは、下の図６

　三角形ＤＥＦ の外側を一周させたときは、下の図７

のように、通らない部分を集めることができます。

　　　

図６の円は、円Ｐで、半径が１、図７の円は、半径が２です。

図６と図７は、相似で、相似比が　１：２　ということになり、

その面積比は、　１×１　：　２×２　＝　１ ： ４ となります。

つまり、青い部分と赤い部分の面積比が　１ ： ４ です。

円Ｐ を２通りで動かしたときの面積の差

　 ５３．４４－４７．８６＝５．５８

が、面積比の差の ３ に相当するので、

　青い部分の面積は、５．５８÷３＝１．８６ｃ㎡

　赤い部分の面積は、１．８６×４＝７．４４ｃ㎡

とわかり、三角形ＤＥＦ の面積は、

　４７．８６－１．８６＝４６ｃ㎡

と求められます。

　（３）三角形ＤＥＦ の周の長さは、下の図８の黒い太線の長さ

なので、三角形ＡＢＣ と三角形ＤＥＦ の周りの長さの差は、

図７の三角形の周りの長さと等しいことがわかります。

　　　

図７の三角形は、下の図９のように、円の中心をＯとすると、

３つの三角形ＯＬＭ，ＯＭＮ，ＯＬＮ に分けることができます。

また、Ｏから３辺ＬＭ，ＭＮ，ＮＬに垂線ＯＱ，ＯＲ，ＯＳ を

下ろすと、それぞれの長さは２ｃｍです。

　　　

図９の赤い部分の面積は、（２）より、７．４４ｃ㎡ で、

円の面積は、２×２×３．１４＝１２．５６ｃ㎡ なので、

三角形ＬＭＮの面積は、７．４４＋１２．５６＝２０ｃ㎡ です。

三角形ＬＭＮの面積は、ＯＱ＝ＯＲ＝ＯＳ＝２ｃｍ より、

　ＬＭ×２÷２＋ＭＮ×２÷２＋ＮＬ×２÷２

＝ＬＭ＋ＭＮ＋ＮＬ＝２０

となるので、三角形ＬＭＮの周りの長さは、２０ｃｍ です。

よって、三角形ＡＢＣ の周りの長さは、三角形ＤＥＦ の周りの

長さに比べて、２０ｃｍ 長いです。

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