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2014年2月19日 (水)

平面図形の長さ 第43問 (洛南高校附属中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (洛南高校附属中学 入試問題 2014年 算数)

     難易度★★★★

 

下の図において、次の長さの比を最も簡単な整数の比で

表しなさい。なお、角BAD と角CAD の大きさは同じです。

  Pic_3728q

(1)AE : EC

(2)AF : FD

(3)BF : FE

(4)CF : FG

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 角の二等分線の定理より、

    AB : AC = BD : CD = 3 : 5

です。

 

 (1)下の図1のように、三角形ABC と三角形AEB は相似で、

AC=【5】とすると、AB=【3】となり、

  Pic_3729a

AB=【3】のとき、AE=【3】×3/5=【1.8】 です。

 

AE=【1.8】のとき、CE=【5】-【1.8】=【3.2】となり、

    AE : EC = 1.8 : 3.2 = 9 : 16

と求められます。

 

 (2)下の図2のように、三角形AEF と三角形ADB は相似で、

   Pic_3730a

AE : AB = 1.8 : 3 = 3 : 5 なので、

AF : AD = 3 : 5 です。

よって、AF : FD = 3 : (5-3)= 3 : 2 とわかります。

 

 (3)三角形ABC と三角形BECが相似で、BC=8cm

より、BE=8÷5×3=4.8cm です。

 

図2で、角BFD=角AFE=角BDF とわかり、

三角形BFD は二等辺三角形 なので、BF=BD=3cm です。

 

よって、FE=4.8-3=1.8cm で、

 BF : FE = 3 : 1.8 = 5 : 3

と求められます。

 

 (4)現在、下の図3のように分かっています。

  Pic_3731a

CF : FG の比を求めるには、

  三角形CFA : 三角形AFG の面積比

または

  三角形BCF : 三角形BFG の面積比

がわかればよいです。

そして、これらを求めるには、三角形AFG、三角形BFG の

面積比、つまり、BG:AG を求めなければなりません。

 

下の図4のように、三角形AEF の面積を[9]とすると、

三角形ABF=[15]、三角形CEF=[16]、三角形BDF=[10]

三角形CDF=[50/3]となります。

  Pic_3732a

図4より、

BG:AG=三角形CFB : 三角形CFA

     =[80/3]:[25]=16:15

とわかり、下の図5のように

  Pic_3733a

三角形BFG =[ 15÷(15+16)×16 ]

三角形AFG =[ 15÷(15+16)×15 ]

となります。

 

よって、CF:FG=三角形CFA : 三角形AFG

          = 25 : 15×15/31

          = 31 : 9

と求められます。

 

 

 洛南高校附属中学の過去問題集は → こちら

 洛南高校附属中学の他の問題は → こちら

 

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