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2014年2月 1日 (土)

図形の移動 第52問 (洛星中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 受験問題 2014年 算数) 難易度★★★☆

 

下の図1のように、たての長さが 9cm、横の長さが 18cmの

長方形PQRS と、底辺の長さが 22cmで、高さが 11cmの

直角三角形ABC があります。長方形PQRS は動かさないで、

三角形ABC を直線L にそって毎秒1cm の速さで右に移動

させていきます。三角形ABC と長方形PQRS が重なっている

部分の面積が初めて長方形PQRS の面積の半分になるとき、

次の問に答えなさい。

Pic_3690q

(1)長方形の辺PQ よりも左にある三角形ABC の部分の

   面積を求めなさい。

(2)点C が点Q と重なってから何秒後ですか。

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解答

 (1)三角形ABC と長方形PQRS が重なっている部分の

面積が初めて長方形PQRS の面積の半分になるのは、

下の図2 のときです。

 

辺AC,辺AB と辺PS との交点をそれぞれD,E とし、

辺AB と辺PQ のの交点をF とします。

 Pic_3691a

四角形PQRS の面積は、9×18 なので、重なっている

五角形CDEFQ の面積は、

  9×18÷2=81c㎡

です。

 

三角形ADE は三角形ABC と相似で、AD=2cm より、

DE=4cm とわかるので、三角形ADE の面積は、

  2×4÷2=4c㎡

です。

 

すると、三角形ABC の面積は、11×22÷2=121c㎡ なので、

三角形BQF の面積は、

  121-(81+4)=36c㎡

と求められます。

 

 (2)下の図3のように、長方形BQFG を作ると、その面積は、

  36×2=72c㎡

です。

 Pic_3692a

三角形ABC と三角形FBQ は相似なので、

   FQ : BQ = 1 : 2 

です。

 

72=6×12 なので、BQ=12cm とわかります。

 

よって、CQ=22-12=10cm なので、三角形ABC と

長方形PQRS が重なっている部分の面積が初めて

長方形PQRS の面積の半分になるのは、点C が点Q と

重なってから、10秒後 です。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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