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2014年2月 4日 (火)

平面図形の角度 第85問 (慶應義塾中等部 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (慶應義塾中等部 2014年 算数) 難易度★★★★★

 

下の図は、正方形ABCD と半円と、中心角が90度の

扇形を組み合わせたものです。半円と扇形の交点をE

とするとき、角CEDの大きさを求めなさい。

     Pic_3698q

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解答

 まず、こういった問題では中心と点を結ぶのが定石なので

半円の中心をF として結んでみると、下の図1のようになります。

    Pic_3699a_2

角ABE=○、角FBE=● とすると、半径の関係から

図1のように表すことができ、○+●=90°です。

 

次に、下の図2のように、A と F を結ぶと、

    Pic_3700a

三角形ABF と三角形AEF は合同なので、

角BAF=角EAF 、角BFA=角EFA です。

つまり、AFの線は、二等辺三角形ABE,FBE の

頂角の二等分線なので、底辺であるBE を垂直に二等分します。

 

よって、角ABE+角BAF=90°となるので、角BAF=●

となり、同様に他の角も下の図3のように表せます。

    Pic_3701a

次に、二等辺三角形CEF において、

角F の外角BFE=○+○ なので、

角CEF=角ECF=○ とわかり、角BEC=○+●=90度です。

 

図3より、

AF とCE が平行であること、三角形ABFと三角形BEC が相似

ということがわかります。

 

ここで、BEをのばし、CDとの交点をGとすると、

下の図4のようになり、

    Pic_3702a

三角形ABF と三角形BCG が合同で、点GはCDのまん中の点

とわかります。

 

次に、CE もAFと平行なので延ばしてみると、下の図5のように

    Pic_3703a

ADのまん中の点Hで交わります。ここまで出来たら、次は当然

DからBGと平行な線を引いてみて、下の図6のようになります。

    Pic_3704a

なにやら、見たことのある図になります。。。そして、

下の図7のように、正方形EJDKを作ることができます。

    Pic_3705a

三角形ABF と三角形CJD が相似なので、JD:JC=1:2 で、

三角形CJDと三角形CEG が相似で、点G がCDのまん中なので

JE=EC=JD より、四角形EJDKは正方形です。

 

よって、DE は、その対角線なので、角DEG=45度で、

角CEG=90度 より、求める角CED=45+90=135度

とわかります。

 

 

別解

図3の続きから、角CEDの周りで不明なのは、角AEDです。

三角形AEDに注目して、下の図8のように、辺DAをPまで

延ばし、角AED=角ADE=▲ とすると、

  Pic_3706a

▲+▲=角EAP(角EADの外角)=90度+●+● 

(三角形の2つの角の和は、残る1つの角の外角に等しい)

となるので、

 ▲=(90度+●+●)÷2=45度+●

とわかります。

 

よって、角CEDの外側は、○+●+○+●+45度=225度

なので、角CED=360-225=135度 と求められます。

 

 

 慶應義塾中等部の過去問題集は → こちら

 慶應義塾中等部の他の問題は → こちら

 

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コメント

別解です。
図3で、
∠DAE=90°- 2●
△DAEは二等辺三角形なので、
∠AED=45°+ ●
ここから、
∠CED(外角)=225°が計算できます。

投稿: momo | 2014年2月 5日 (水) 06時04分

momo様、別解のご提示ありがとうございます。
 
なるほど、と思いましたので、掲載させていただきました。
 
またお気づきの点などございましたら
コメント宜しくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2014年2月 5日 (水) 22時07分

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