平面図形の長さ 第４４問 （高槻中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（高槻中学　受験問題　2014年　算数）　難易度★★★

下の図の四角形ＡＢＣＤ は、ＡＤとＢＣが平行な台形です。

辺ＡＢ上に点Ｅ があり、四角形ＡＢＣＤ はＣＥ によって

面積が二等分されます。また、辺ＢＣ上に点Ｆ があり、

四角形ＡＢＣＤ はＤＦ によって面積が二等分されます。

さらに、辺ＣＤ上に点Ｇ があり、四角形ＡＢＣＤ は ＢＧ

によって面積が二等分されます。このとき、次の問に

答えなさい。

　　

（１）ＡＥ の長さと ＢＦ の長さを求めなさい。

（２）ＥＧ の長さを求めなさい。

（３）三角形ＥＦＧ の面積と四角形ＡＢＣＤ の面積の比を

　　 最も簡単な整数の比で表しなさい。

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解答

　（１）まず、下の図１のように三角形ＡＢＣ と三角形ＡＣＤ の

面積比が、【１５】 ： 【７】 ということがわかります。ということは、

四角形ＡＢＣＤ の面積は、【１５】＋【７】＝【２２】です。

　　

次に、下の図２のように点Ｅ がＡＢ上にあるとき、

ＣＥ が四角形ＡＢＣＤ の面積を二等分するので、

三角形ＢＣＥ ＝【１１】、三角形ＡＣＥ ＝ 【４】 となります。

　　

よって、ＡＥ ： ＢＥ ＝ ４ ： １１ とわかるので、

　ＡＥ の長さ＝１２÷（４＋１１）×４＝３．２ｃｍ

と求められます。

ＢＦ についても同様の手法で、下の図３のように

　三角形ＡＢＤ ＝　【７】、三角形ＢＣＥ ＝ 【１５】

なので、ＤＦ の線を引くと、

　三角形ＢＤＦ ＝ 【４】、三角形ＣＤＦ ＝ 【１１】

となるので、

　　

ＢＦ ： ＣＦ ＝ ４ ： １１ とわかるので、ＢＣ＝１５ｃｍ より、

ＢＦ＝４ｃｍ と求められます。

　（２）Ｇ の位置は、（１）と同様の手法で、下の図４のように

ＤＣ を ４：１１ に分ける場所とわかります。

　　

下の図５のように、Ｅ，Ｇ はそれぞれＡＢ，ＤＣ を ４ ： １１ に

分ける点なので、ＥＧ はＡＤ，ＢＣ と平行になります。

　　

ＡＤ＝７ｃｍ で、ＢＣ＝１５ｃｍ と、８ｃｍ長くなっています。

ＤからＣへ、④＋⑪＝⑮　進むと８ｃｍ 長くなるので、

ＤからＧへ、④進むと、８÷１５×４＝３２/１５ｃｍ 長くなり、

　ＥＧ＝７＋３２/１５＝９と２/１５ｃｍ

となります。

　（３）三角形ＥＦＧ は下の図６のようになっています。

　　

三角形ＥＦＧ は、等積変形によって、三角形ＢＥＧ と同じ面積に

なり、下の図７のように

　　

三角形ＢＥＧ ： 三角形ＢＣＧ ＝ １３７/１５ ： １５ ＝ １３７ ： ２２５

という面積比になります。ここで、ＢＧ は四角形ＡＢＣＤ の面積を

二等分しているので、三角形ＢＣＧ の面積は、四角形ＡＢＣＤ の

半分です。

よって、

　　 三角形ＥＦＧの面積 ： 四角形ＡＢＣＤの面積

＝ １３７ ： ２２５×２　＝ １３７ ： ４５０

となります。

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