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2014年2月17日 (月)

立体図形の切り口 第59問 (灘中学 入試問題 2014年(平成26年) 算数)

 

問題 (灘中学 入試問題 2014年 算数) 

     難易度★★★★

 

下の図は、1辺の長さが6cmの立方体です。

四角すいE-ABCDを3点A,F,Hを通る

平面で切ったとき、この平面と辺BE,CE,DE

とが交わる点をそれぞれ I,J,K とします。

四角すいE-AIJKの体積を求めなさい。

  Pic_3723q_2

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解答

 下の図1のように、EGとFHの交点をL として、

  Pic_3724a

下の図2のように、長方形ACGE を描くと、

  Pic_3725a

三角形AJC と三角形LJE は相似で、

AC : EL=2:1 なので、

 AJ : JL = 2 : 1

とわかります。

 

次に、三角形AFH は3辺の長さが

等しいので、正三角形です。

 

角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で、

【三角すいE-AFH】の体積は、

6×6÷2×6÷3=36c㎥ で、

これは、三角形AFHの面積 × 高さ ÷ 3 です。

求める四角すいE-AIJK の体積は、下の図3の

四角形AIJK が三角形AFH の面積の何分の何かが

わかれば求めることができます。

  Pic_3726a

なお、点Jを三角形の重心といいますが、

中学で習うことなので、ここではその性質は使いません。

 

下の図4のように、三角形AFH は4つの正三角形

AIK,IFL,IKL,KLH に分けることができ、

  Pic_3727a

AL と IK の交点をMとすると、MはALのまん中の点なので、

AL=【3】のとき、AM=【1.5】で、MJ=【0.5】となります。

よって、四角形AIJK のうち、

 三角形AIKの面積=三角形AFHの1/4の面積

 三角形 IJKの面積=三角形AIKの1/3の面積

             =三角形AFHの面積の1/12

となるので、四角形AIJKの面積は、三角形AFHの面積の

 1/4+1/12=1/3

とわかります。

 

ゆえに、底面積が 1/3 になるので、四角すいE-AIJKの

体積は、三角すいE-AFH の1/3 で、

  36÷3=12c㎥

と求めることができます。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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