立体図形の切り口 第６０問 （豊島岡女子学園中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（豊島岡女子学園中学　入試問題　2013年　算数）

　　　　 難易度★★★★

下の図のように、立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ があります。辺ＡＢの

まん中の点を Ｉ 、辺ＢＣ のまん中の点をＪ，辺ＣＤのまん中の

点をＫ，辺ＤＡ のまん中の点をＬ とします。立方体から

三角すいＡＥ Ｉ Ｌ と三角すいＣＪＧＫ を取り除いてできる

立体を Ｔ とします。元の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ と立体 Ｔ

について考えるとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）立体 Ｔ の辺は全部で何本ですか。

（２）立体 Ｔ を３つの点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切ったときの

　　 切り口の面積は、元の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ を

　　 Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切ったときの切り口の面積の

　　 何倍ですか。

（３）辺ＥＦ のまん中の点をＭとします。立体 Ｔ を３つの点

　　 Ｋ，Ｌ，Ｍ を通る平面で切ったときの切り口の面積は

　　 元の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ をＫ，Ｌ，Ｍ を通る平面で

　　 切ったときの切り口の面積の何倍ですか。

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解答

　（１）図の辺の本数を数えると、立体Ｔの辺の数は １６本 です。

　（２）下の図１のように、ＡＣとＬ Ｉ 、ＤＢ，ＫＪ の交点をそれぞれ

Ｎ，Ｏ，Ｐ とし、ＡＦ とＥ Ｉ の交点をＱ，ＣＦ とＪＧの交点をＲ

とします。

　　　　

Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌ がそれぞれの辺のまん中の点なので、

　ＡＮ ： ＮＯ ： ＯＰ ： ＰＣ ＝ １：１：１：１

で、

　三角形ＡＱＩ と三角形ＦＱＥ が相似

　三角形ＣＲＪ と三角形ＦＲＧ が相似

なので、

　ＡＱ ： ＱＦ ＝ ＣＲ ： ＲＦ ＝ １：２

とわかり、三角形ＡＣＦ の各辺の比は下の図２のようになります。

　　　　

三角形ＡＮＱの面積を　１　とすると、三角形ＣＰＲ も １ で、

三角形ＡＣＦ は １×４×３＝１２ となります。　

よって、立体 Ｔ を３つの点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切ったときの

切り口ＮＱＦＲＰの面積は、１２－２＝１０ なので、

立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ をＡ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切ったときの

切り口の面積 １２ の ５/６倍 となります。

　（３）３点Ｋ，Ｌ，Ｍ は各辺のまん中の点で、これらを通る平面は

下の図３の赤線のような 正六角形ＫＬＳＭＴＵ となります。

　　　

ＳＭ とＥ Ｉ の交点をＶ，ＪＧ とＵＴの交点をＷ として、

下の図４のように、Ａ Ｉ ＝ ＡＸ となる点Ｘ をＭＳの延長上にとると

　　　　　　

ＳＭ＝ＳＸ，Ｘ Ｉ ： ＥＭ＝ＸＶ ： ＶＭ＝２：１なので、

　　　　ＳＸ ： ＳＶ ： ＶＭ ＝ ３ ： １ ： ２ 

とわかります。

すると、切り口の六角形ＫＬＳＭＴＵ は下の図５のようになり、

　　　

三角形ＬＳＶ と三角形ＫＵＷ は合同で、その面積は共に

三角形ＬＳＭの １/３ です。

三角形ＬＳＭの面積は、正六角形ＫＬＳＭＴＵの面積の１/６

なので、三角形ＬＳＶ と三角形ＫＵＷの面積は、共に

正六角形ＫＬＳＭＴＵの面積の１/１８ とわかります。

よって、立体 Ｔ を３つの点Ｋ，Ｌ，Ｍ を通る平面で切ったときの

切り口の六角形ＫＬＶＭＴＷの面積は、元の立方体ＡＢＣＤ－

ＥＦＧＨ をＫ，Ｌ，Ｍ を通る平面で切ったときの切り口の

正六角形ＫＬＳＭＴＵ の面積の １－１/１８×２＝８/９倍

となります。

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