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2014年2月14日 (金)

文章題 第83問 不定方程式 (甲陽学院中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (甲陽学院中学 受験問題 2012年 算数) 

     難易度★★★★

 

最初の料金が640円で、以降キョリに比例して料金が60円ずつ

上がっていくタクシーがあります。A,B,C,D の4人がタクシーに

乗り、異なる場所でこの順番に降りていきます。最初に降りる人は

そのときのメーターの料金を人数で割った金額を支払います。

以降、降りる人は、その間に増えた料金を乗っていた人数で割り

前に降りた人の金額に加えて支払うことにします。このとき、次の

問に答えなさい。

 

(1)最初に A が250円を支払って降りました。最後にDが降りる

   ときにはメーターの料金は3100円でした。CはBよりも、

   そして、DはCよりもそれぞれ420円ずつ多く支払いました。

   Bの支払った金額を求めなさい。

(2)次の日も4人が同じ道をタクシーに乗り、A とDは前日と同じ

   場所で降りました。BとCは前日とは異なる場所で降りたので、

   DはA よりも810円多く支払いました。Bが支払ったと考え

   られる金額をすべて答えなさい。

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解答

 (1)料金は3100円なので、4人の払った金額の合計が3100円

とならなければなりません。

 

Bの支払った金額を□円とすると、

 250+□+(□+420)+(□+420+420)=3100円

なので、これを解くと

 □=530円

とわかります。

 

 (2)不定方程式です。

運賃の支払い方を考えると次のようになります。

まず、Aが4分の1を支払います(250円)。これをA円とします。

Bは、Aが降りた場所から増えた料金の3分の1をさらに支払います。

この増えた料金の3分の1をB円とします。

Bは、A+B円を支払います。

 

CはBが降りた場所から増えた料金の2分の1をさらに支払います。

この増えた料金の2分の1をC円とします。

Cは、A+B+C円を支払います。

 

DはCが降りた場所から増えた料金をさらに支払います。

この増えた料金をD円とします。

Dは、A+B+C+D円を支払います。

 

Dは、A(250円)より810円多く支払っているので、

 250+B+C+D=1060円

となるので、

 B+C+D=810円 ・・・ ①

です。

 

また、全体で3100円の支払いになるので、

 A+(A+B)+(A+B+C)+(A+B+C+D)=3100円

となるので、

 250+(250+B)+(250+B+C)+1060=3100円

より、

 B+B+C=1290円 ・・・ ②

です。

 

次に、タクシーの料金は、60円ずつ上がっていくので、

 Aが降りた地点からBが降りる地点までの料金は、60の倍数

 Bが降りた地点からCが降りる地点までの料金は、60の倍数

 Cが降りた地点からDが降りる地点までの料金は、60の倍数

となります。

つまり、

 B+C+D=810円 ・・・ ①

 B+B+C=1290円 ・・・ ②

式①、式②のBは、20の倍数、Cは30の倍数、Dは60の倍数

(Bは増えた料金を3等分、Cは増えた料金を2等分したので)

となります。

 

式②で、B×2+C=1290 を満たすB,Cを求めると、

(B,C)=(600、90)、(540、210)、(480、330)、

      (420、450)、(360、570)、(300、690)、

      (240、810)、(180、930)、(120、1050)、

      (60、1170)

の10通りがありますが、 式①で、B+C+D=810円 より、

B+C は 810円より小さくならなければならないので、

(600、90)、(540、210)以外の8通りは、この条件に

適しません。(480、330)では、D=0 となり、CとDが

同じ地点で降りることになってしまい、問題文には3人が

異なる場所で降りたとあるので、不適です。

 

(B,C)=(600、90)、(540、210)のときのDの値は、

  B=600、C=90 のとき、D=810-690=120

  B=540、C=210 のとき、D=810-750=60

なので、共に60の倍数となり、Dが60の倍数という条件を

満たします。

 

よって、Bが支払ったと考えられる金額は2通りあり、

 250+600=850円、250+540=790円

です。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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