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2014年2月 5日 (水)

平面図形の角度 第86問 正六角形と正五角形 (奈良学園登美ヶ丘中学 2009年、早稲田中学 2010年、女子学院中学 2014年 受験問題 算数)

 

問題 (奈良学園登美ヶ丘中学 2009年、早稲田中学 2010年

     女子学院中学 2014年 受験問題 算数)

     難易度★★★

 

【 1 】

1辺の長さが等しい正五角形と正六角形を、下の図Ⅰのように

1つの辺を重ねました。このとき、アの角度は何度ですか。

  Pic_3706q

    (奈良学園登美ヶ丘中学 2009年、早稲田中学 2010年)

 

【 2 】

下の図Ⅱのように、正六角形の中に正五角形があります。

角ア~角エの大きさを求めなさい。

  Pic_3707q

                       (女子学院中学 2014年)

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解答

 【 1 】

まず、正五角形の1つの角の大きさは108度、

    正六角形の1つの角の大きさは120度 です。

 

 角アは、下の図1のように、角A+角Bで求めることができます。

  Pic_2468a

角A は、頂角が120度の二等辺三角形の等しい2つの角の1つ

なので、(180-120)÷2=30度 です。

 

一方、角B は、下の図2の2つの赤線が平行であることから、

  Pic_2469a_2

錯角で、角Bの大きさと角Cの大きさが等しいことがわかります。

角Cは、頂角が108度の二等辺三角形の等しい2つの角の1つ

なので、角C=(180-108)÷2=36度=角B です。

 

よって、角A=30度、角B=36度 より、

     角ア=角A+角B=66度 です。

 

 

【 2 】

 まず、角ア=120-108=12度 です。

 

下の図3において、黄色い二等辺三角形の角A=30度なので、

角イ=120-30=90度 です。

  Pic_3708a

図3において、青い図形は五角形で、五角形の内角の和が

540度なので、

   角ア+角イ+角ウ+角オ+角カ=540度 となります。

  角ア=12度

  角イ=90度

  角オ=120度

  角カ=360-108=252度

なので、

 角ウ+12+90+120+252=540 より、

 角ウ=540-474=66度

と求められます。

 

最後に、角A+角エ=角ウ となるので、

 角エ=66-30=36度

と求められます。

 

 

 奈良学園登美ヶ丘中学の過去問題集は → こちら

 早稲田中学の過去問題集は → こちら

 女子学院中学の過去問題集は → こちら

 奈良学園登美ヶ丘中学の他の問題は → こちら

 早稲田中学の他の問題は → こちら

 女子学院中学の他の問題は → こちら

 

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