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2014年1月31日 (金)

図形の移動 第51問 (洛星中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 入試問題 2014年 算数) 難易度★★★

 

下の図1のように、1辺の長さが 9cmの正方形PQRS と、

AB=AC で 高さが 18cmの二等辺三角形ABC があります。

正方形PQRS は動かさないで、三角形ABC を直線L にそって

毎秒1cm の速さで右に移動させていくと、点C が点Q と重なって

から 6秒後に点Pが辺AC の上にきました。このとき、次の問に

答えなさい。

Pic_3686q

(1)BC の長さを求めなさい。

(2)三角形ABC と正方形PQRS が重なっている部分の面積が

   正方形PQRS の面積の半分になるのは、点C が点Q と

   重なってから何秒後ですか。考えられる場合をすべて答え

   なさい。

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解答

 (1)下の図2は、点C と点Q が重なったときの図です。

Aから下ろした垂線の足を点Dとします。

 

ここから 6秒後に、点P が辺AC上にくるので、そのとき

点P と辺AC の重なるところをE とすると、図2のPE の

長さが 6cmとわかります。

 Pic_3687a

図2において、三角形ACD と三角形QEP は相似なので、

   CD=6×2=12cm

とわかり、三角形ABCは二等辺三角形なので、BD=CD より

BC の長さは、12×2=24cm と求められます。

 

 (2)正方形PQRSの面積は、9×9=81c㎡ で、図2の

三角形QEP の面積は、6×9÷2=27c㎡ なので、

三角形ABC と正方形PQRS が重なっている部分の面積が

正方形PQRS の面積の半分になるのは、下の図3、図4の

場合となります。

Pic_3688a

正方形PQRSの面積が二等分されるので、

図3の台形CEPQ と台形ECRS は合同で、

PE=CR,CQ=ES です。

 

下の図5のように、E から垂線を下ろし、辺BCとの交点をG

とします。

   Pic_3689a

三角形CEG は、図2の三角形ECP と合同な三角形で、

CG=6cm です。QG=CR=(9-6)÷2=1.5cm

とわかります。

 

図3で、CQの長さ=1.5+6=7.5cm

図4で、CQの長さ=QB+BC=1.5+24=25.5cm

なので、三角形ABC と正方形PQRS が重なっている部分の

面積が正方形PQRS の面積の半分になるのは、点C が

点Q と重なってから、7.5秒後と25.5秒後 です。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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