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2014年1月27日 (月)

平面図形の面積 第94問 (渋谷教育学園幕張中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 受験問題 2014年 算数)

     難易度★★★★

    Pic_3668q

上の図1のように、1辺の長さが 20cm の正六角形ABCDEF

の対角線AD と対角線BE が交わった点をOとします。

この正六角形が描かれた十分に大きい的に向かって矢を投げる

ゲームをします。このゲームの得点は次のように決めます。

 

【得点の決め方】

矢を1度だけ投げ、7個の点A,B,C,D,E,F,O のうち、

矢の当たった点から20cm以内にある点の個数がその人の

得点となります。たとえば、このゲームで、下の図2の点Pに

矢が当たった場合、点Pから20cm以内に4個の点A,B,C,

Oが入るので、得点は4点となります。

   Pic_3669q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)的に矢が当たると、得点が3点以上となる的の部分の

   面積を求めなさい。

(2)的に矢が当たると、得点が2点となる部分の面積を

   求めなさい。

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解答

 (1)下の図3のように、点Oを中心に半径20cmの円を描くと

     Pic_3670a

正六角形の各頂点を通ります。この点線上に矢が当たると、

たとえば下の図4の点Qように、3点となります。(B,C,O)

 Pic_3671a

よって、3点以上となるのは、点Oを中心とした半径20cmの

円内に矢が当たったときなので、その面積は、

  20×20×3.14=1256c㎡

となります。

 

 (2)得点が2点となる場合は、矢が当たった場所が(1)の

円よりも正六角形から遠い場所になります。下の図5のように

点R,点Sに当たった場合を考えてみましょう。

Pic_3673a

点Rに当たった場合は、得点は2点(B,Cが20cm以内)ですが、

点Sに当たった場合は、得点は1点(C のみ)となります。

 

得点が2点になるには、2つの頂点B,C の両方から20cm以内

に当たることが条件となり、下の図6の赤い部分となります。

ただし、黄色い部分は、3点以上となる部分なので除きます。

 Pic_3674a_2

図6の赤い部分と同じものが、正六角形の各辺に対して1つずつ

できます。この部分1つの面積は、下の図7のように、黄色い

部分と青い部分の面積が等しいので、青い部分を黄色い部分に

移すことで、半径20cm、中心角60°の扇形と考えることが

できます。

 Pic_3675a

よって、得点が2点となる部分の面積は、

 20×20×3.14×60/360×6個=1256c㎡

となります。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

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