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2014年1月21日 (火)

規則性の問題 操作 第32問 (渋谷教育学園渋谷中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (渋谷教育学園渋谷中学 入試問題 2013年 算数)

     難易度★★★

 

4つの数、A,B,C,D を次のルールで決めます。

 

<ルール>

  A は、1より大きい整数とする。

  B は、A どうしの積(A×A)から、A どうしの和(A+A)を

      引いた数とする。

  C は、B どうしの積から、B どうしの和を引いた数とする。

  D は、C どうしの積から、C どうしの和を引いた数とする。

 

たとえば、A を5とすると、

  5×5-(5+5)=15            より、B=15

  15×15-(15+15)=195       より、C=195

  195×195-(195+195)=37635 より、D=37635

となります。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)A を4としたとき、D を求めなさい。

(2)A をある数にすると、4つの数A,B,C,D がすべて等しく

   なります。A はいくつですか。

(3)次のア~エについて、いつでも成り立つものには○、

   成り立たないときがあるものいは×で答えなさい。

   ア : A を100より小さい数とすると、Bは9000より小さい

   イ : B は差が 2 である2つの整数の積になっている

   ウ : A を奇数とすると、B,C,D もすべて奇数になる

   エ : A の一の位の数字が1のとき、C の一の位の数字は

       3 になる

(4)440×438=192720 です。C が192720 のとき、

   A はいくつですか。

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解答

 (1)4×4-(4+4)=8

    8×8-(8+8)=48

    48×48-(48+48)=2208

より、D=2208 です。

 

 (2)考えられるA の値は、2か3であろうと思われます。

2×2-(2+2)=0 となってしまうので、2ではありません。

 

3×3-(3+3)=3 となるので、ずっと 3になります。

よって、A=3 のとき、A,B,C,D はすべて です。

 

 (3)(ア)A=99のとき、

99×99-(99+99)=9603 となるので、9000より大きい

ので、これは × です。

 

 (3)(イ)A=3 のとき、B=3(1×3)

A=4のとき、B=8(2×4)

A=5のとき、B=15(3×5)

と、規則的に積になっているので、これは  です。

 

たとえば、A=4のとき、

  B=4×4-(4+4)=4×4-4×2=4×(4-2)=4×2

A=5のとき、

  B=5×5-(5+5)=5×5-5×2=5×(5-2)=5×3

A=6のとき、

  B=6×6-(6+6)=6×6-6×2=6×(6-2)=6×4

のように、Bは必ず、(A の値) × (A の値 - 2)となります。

 

 (3)(ウ)奇数×奇数=奇数 で、 奇数+奇数=偶数 です。

奇数 - 偶数 = 奇数 なので、A が奇数ならば、

B,C,D も奇数となります。よって、これは ○ です。

 

 (3)(エ)A = ●1 とすると、

    A × A の一の位は、1 です。

    A + A の一の位は、2 です。

よって、Bの一の位は、▼1-◆2 より、9 となります。

    B × B の一の位は、1 です。

    B + B の一の位は、8 です。

よって、Cの一の位は、▲1-■8 より、 3 となります。

ゆえに、これは  です。

 

 (4)(3)(イ)より、B が差が2である2つの整数の積になるなら、

同様な操作でできるC,D も、差が2である2つの整数の積に

なります。

 

 C の値 = (B の値) × (B の値 - 2) = 440×438

なので、B の値 = 440 です。440=22×20 なので、

 B の値 = (A の値) × (A の値 - 2) = 22×20

より、 A の値 = 22 です。

 

 

 渋谷教育学園渋谷中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園渋谷中学の他の問題は → こちら

 

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