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2014年1月17日 (金)

図形の移動 第50問 (東大寺学園中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 受験問題 2013年 算数)

     難易度★★★★★

 

AB=2cm、AD=1cmの長方形ABCD と、対角線の長さ

EG=FH=2cm の正方形EFGH があります。ABのまん中の

点をM,CDのまん中の点をNとします。さらに、CとMを通る

直線をX、Dを通りXに平行な直線をYとします。下の図1の

ように正方形EFGH をEF がY上に、GHがX上にあるように

動かすとき、次の問に答えなさい。

Pic_3657q_2

(1)2つの四角形の重なる部分が五角形になる場合に、重なる

   部分の面積が最も大きくなるとき、その面積を求めなさい。

(2)2つの四角形の重なる部分が三角形になる場合に、重なる

   部分の面積が最も大きくなるとき、その面積を求めなさい。

(3)下の図2は、正方形EFGHが点線部分の正方形から太線

   部分の正方形E’F’G’H’まで移動した図です。ただし、

   AはFG上、NはEH上にあるものとし、F’G’とDA が交わる

   点をP、F’G’ABが交わる点をQ,E’H’とDCが交わる点を

   Rとします。三角形APQと四角形NHH’R の面積が等しく

   なるとき、三角形APQの面積を求めなさい。

Pic_3658q

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解答

 (1)2つの四角形は、下の図3~図6のように重なります。

 Pic_3659a_2

五角形になるのは、図3の直後 ~ 図5にかけてです。

このとき、五角形の面積が最大になるのは、図5のときで、

その面積は、

   1×1+1×1÷4=1.25c㎡

です。

 

 (2)図3で、重なる部分は三角形となっていますが、下の図7

のように、図6のあとで重なる部分が大きな三角形になります。

 Pic_3660a

図7以降、三角形はその面積を縮小していくので、

重なる部分が三角形のとき、重なる部分の面積が最も大きく

なるときの面積は、

   1×2÷2=1c㎡

です。

 

 (3)三角形APQの面積=PQ×高さ÷2

台形NHH’Rの面積=(RH’+NH)×高さ÷2

と表すことができますが、この【高さ】は、どちらも正方形EFGHが

移動した長さなので、等しいです。

よって、

     PQの長さ=RH’+NHの長さ

ということがわかります。

 

次に、下の図8において、赤い3つの三角形は合同です。

Pic_3661a

すると、F’P=QG’=RH’ で、PQ=NH+RH’ なので、

     F’G’=NH+( RH’×3 )

と表すことができます。

 

NHの長さ=F’G’の長さの半分 なので、

RH’の長さ=NHの長さの 1/3=F’G’の長さの 1/6 とわかり、

PQの長さ=RH’+NHの長さ=F’G’の長さの 2/3 です。

 

PQを1辺とする正方形があるとすると、

その対角線の長さは、EGの2/3で、4/3cm です。

よって、三角形APQの面積は、PQを1辺とする正方形の1/4で、

   4/3×4/3÷2÷4=2/9c㎡

と求められます。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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