数の性質 第８６問 （甲陽学院中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（甲陽学院中学　受験問題　2012年　算数）　

　　　　 難易度★★★★

目盛りのついていない定規があります。この定規に ３３本の

等間隔の青い線を引いて ３４等分し、次に ２２本の等間隔の

赤い線を引いて２３等分します。それぞれ左から順に、青線は

１～３３、赤線は１～２２の番号をつけておきます。このとき、

次の問に答えなさい。

（１）青線と赤線が最も近くなるのは、それぞれ何番の青線と

　　 赤線ですか。２組答えなさい。

（２）（１）の最も近くなる青線と赤線の間隔が０．２５ｃｍのとき、

　　 定規の長さは何ｃｍですか。

（３）青線と赤線の間隔が（１）の５倍となるのは、それぞれ

　　 何番の青線と赤線ですか。２組答えなさい。

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解答

　（１）青線の間隔を □ｃｍ とし、赤線の間隔を ○ｃｍ とすると

　　　　　　　 □×３４＝○×２３

となります。

わかりやすく、□＝２３ｃｍ、○＝３４ｃｍ とすると、定規の長さは

２３×３４ｃｍ で、それぞれの線が引かれる場所は、

　 青線　：　２３、４６、６９、９２、１１５、・・・、２３×３３

　 赤線　：　３４、６８、１０２、１３６、１７０、・・・、３４×２２

のところです。

ここで、青線では ６９ｃｍ、赤線では ６８ｃｍ のところがあり、

差が１ｃｍ しかありません。２３と３４は互いに素なので、

差が０ｃｍになることはありません。よって、これが青線と赤線が

最も近くなるときです。

では、もう１組はどこでしょうか。

たとえば、４ と ７ で同様なことを調べると、

　４，８，１２，１６，２０，２４

　　　　　７，１４，２１

【８と７】、【２０と２１】は差が１になります。

【８と７】　・・・　４の列の左から２番目と、７の列の左から１番目

【２０と２１】　・・・　４の列の右から２番目と、７の列の右から１番目

となり、左右対称に存在することがわかります。

（他に例を作っても同様になります）

したがって、青線の右から３番目（２３×３１）と赤線の右から

２番目（３４×２１）が、差が１ｃｍ とわかります。

以上より、青線と赤線が最も近くなるのは、

　 ３番目の青線と２番目の赤線

　 ３１番目の青線と２１番目の赤線

です。

　（２）（１）の縮尺を４分の１にすればよいので、定規の長さは、

　　　 ２３×３４÷４＝１９５．５ｃｍ

と求められます。

　（３）地道に２３の倍数と３４の倍数を書く方法が無難かも

しれませんが、根気と正確さが必要になります。

論理的に考えると、（１）を式で表すと、

　　　 ２３×３－３４×２＝１

となります。これが５倍になるので、式を丸ごと５倍すると、

　　　（２３×３－３４×２）×５＝５

とすることができ、

　　　２３×１５－３４×１０＝５

となるので、

　　　１５番目の青線と１０番目の赤線の間隔が５ｃｍ

とわかります。

（１）より、左右対称なので、３４－１５＝１９、２３－１０＝１３より、

　　　１５番目の青線と１０番目の赤線

　　　１９番目の青線と１３番目の赤線

の間隔は、（１）の５倍と求められます。

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