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2014年1月 7日 (火)

平面図形の長さ 第40問 (神戸女学院中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (神戸女学院中学 入試問題 2012年 算数) 

     難易度★★★

 

下の図のように、1辺8cmの正方形の内部を線で区切ります。

Pic_3632q

次の問に答えなさい。

 

(1)赤い部分【ア】の面積を求めなさい。

(2)青い部分【イ】の面積を求めなさい。

(3)辺BC上に点Pをとり、直線APで青い部分【イ】の面積が

   2等分されるとき、PCの長さを求めなさい。

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解答

 (1)下の図1のように、点D,E,F をとると、

 Pic_3633a

三角形BDF と三角形CEF は相似で、

BD=8cm、CE=4cm より、相似比は 2 : 1 なので、

 BF : CF = 2 : 1 、 BC=8cm より、CF=8cm

とわかります。

 

次に、図1の三角形ADG と三角形AFB が相似で、

DG=4cm、BF=16cm より、相似比は 1 : 4 なので、

 AG : AB = 1 : 4

とわかります。

 

よって、三角形ADG【ア】の面積は、三角形BDG の面積を

1 : 4 に分ければよいので、

   4×8÷2÷5=3.2c㎡

と求められます。

 

 (2)下の図2のように、点H,I,J を定めると、

 Pic_3634a

三角形BIJ と三角形BAF は、

  B I : BJ = BD : BF = 1 : 2

となるので、相似で、IJとDFは平行ということがわかります。

 

よって、BJ=DG=4cmより、三角形BHJ と三角形GADは

合同な三角形で、面積は(1)より、 3.2c㎡ です。

 

求める面積【イ】は、台形BCED から三角形ABD,三角形BHJ

の面積を除けばよく、三角形ABD と三角形BHJの面積の合計は

三角形BDGに等しいことから、【イ】の面積は、

  (4+8)×8÷2-4×8÷2=32c㎡

と求められます。

 

 (3)四角形AHJPの面積が 32÷2=16c㎡ となります。

 

(1)より、AG : AB = 1 : 4 で、(2)より、AG=BH なので

   AG : AH : BH = 1 : 3 : 1

とわかります。

 

すると、三角形AHJの面積は、三角形BHJの3倍とわかるので、

   3.2×3=9.6c㎡

とわかります。

 

三角形AJPの面積が 16-9.6=6.4c㎡ になります。

 

三角形AJP の辺JPを底辺としたときの高さは、

  AG : AB = 1 : 4 

より、

  8÷(1+4)×4=6.4cm

と求められ、JPの長さを□とすると、

  □×6.4÷2=6.4c㎡

なので、□=2cm とわかります。

 

よって、CPの長さ=4-2=2cm と求められます。

 

 

 神戸女学院中学部の過去問題集は → こちら

 神戸女学院中学部の他の問題は → こちら

 

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