場合の数 図形の選び方 第２２問 （豊島岡女子学園中学 受験問題 2010年（平成22年度） 算数）

問題　（豊島岡女子学園中学　受験問題　2010年　算数）

　　　　 難易度★★★

下の図のように、正三角形ＡＢＣ のそれぞれの辺を３等分する

点をＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ とします。Ａ～Ｉ のうち、３点を結んで

三角形を作るとき、次の問に答えなさい。ただし、３点を結んで

三角形ができないような結び方は考えないものとします。

　　　　

（１）３点Ｅ，Ｆ，Ｉ を結んでできる三角形の面積は正三角形ＡＢＣ

　　 の面積の何倍ですか。

（２）３点を結んでできる三角形のうち、正三角形ＡＢＣ の面積の

　　 ３分の１になるものは何通りありますか。

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解答

　（１）三角形ＥＦ Ｉ 以外の三角形を考えると、下の図１のように

　　　　

三角形ＢＥＦ は、三角形ＡＢＣ と相似比 １：３ なので、

面積比は、１×１　：　３×３　＝　１：９ で、

三角形ＣＦ Ｉ は、三角形ＡＢＣ と相似比 ２：３ なので、

面積比は、２×２　：　３×３　＝　４：９ です。

三角形ＥＦ Ｉ と三角形ＡＥ Ｉ は合同な三角形なので、

三角形ＡＢＣ の面積を 【９】とすると、

三角形ＢＥＦは【１】、三角形ＣＦ Ｉ は【４】、

三角形ＥＦ Ｉ と三角形ＡＥ Ｉ は、｛【９】－（【１】＋【４】）｝÷２＝【２】

となります。

よって、三角形ＥＦ Ｉ は、三角形ＡＢＣ の面積の ２/９倍

とわかります。

　（２）面積が三角形ＡＢＣ の１/３ となる三角形を考えると、

まず、下の図２の三角形ＡＩＢ や、三角形ＣＤＥ があり、

　　　　

これらの三角形は、頂点をＡ，Ｂ，Ｃ のどれかにして、底辺が

対辺の１つに取れば作ることができるので、９通り あります。

次に、（１）を参考にすると、【２】の大きさの三角形を３個作ると

下の図３のように

　　　　

面積が【３】となる三角形を２通り作ることができます。

以上より、正三角形ＡＢＣ の面積の３分の１になるものは、

　 ９＋２＝１１通り

あります。

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