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2013年12月 6日 (金)

立体図形の表面積 第11問 (桜蔭中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (桜蔭中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★★★

 

 Pic_3601q

上の図1のような台形柱があります。この立体の各面の形は

正方形か長方形か台形です。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)この立体の体積と表面積を求めなさい。

(2)下の図2のように、面アの対角線の交点を中心とする

   半径5cmの円をA とします。そしてA の形の穴を面アと

   垂直に、この立体を突き抜けるようにあけます。このとき

   穴をあけた後の立体の体積を求めなさい。

 Pic_3602q

(3)(2)でできた立体について、下の図3のように面イを12等分

   して、青い正方形をBとします。Bの形の穴を面イと垂直に

   立体を突き抜けるようにあけます。このとき、穴をあけた後の

   立体の表面積を求めなさい。

 Pic_3603q_2

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解答

 (1)まず、体積=台形の面積×高さ30cm で、

      (30+60)×40÷2×30=54000c㎥

と求められます。

 

次に表面積は、すべての面の面積の和で、台形=1800c㎡より、

  1800×2+(30+40+50+60)×30=9000c㎡

と求められます。

 

 (2)半径5cm、高さ40cmの円柱の体積を除けばよいので、

 54000-5×5×3.14×40=54000-3140

                    =50860c㎥

と求められます。

 

 (3)まず、下の図4のように正方形Bから穴をあけると、

円Aの円柱をちょうど突き抜けます。

 Pic_3604a

円柱による表面積の増減は、上下の円の面積が減り、

図4の緑の円柱以外の部分の側面積が増えるので、

トータルで考えると、

  10×3.14×30cm - 5×5×3.14×2

 =250×3.14c㎡

増えます。

 

次に、正方形Bによってあけた穴について考えると、

まず、図3の黄色い四角形のたての長さは、

下の図5のように、50cmの4分の1で、12.5cmです。

Pic_3605a

次に、穴をあけたことによって増える面積は、

上底=Xcm、下底=Ycmの台形が2枚と、

円Aと同じ穴のあいた長方形(長さ Xcm と Ycm のもの)

となります。

 

このXcm と Ycm は、図5の右上の台形の図から、

  X = 30+30÷4=37.5cm

  Y = 30+7.5×2=45cm

と求められます。

 

よって、正方形Bによる表面積の増減は、

 (37.5+45)×10÷2×2  ・・・ 台形2枚

  +10×37.5+10×45-5×5×3.14×2 ・・・長方形

  -(10×10+10×12.5) ・・・ 正方形B と黄色い四角形

=825+825-50×3.14-225

=1425-50×3.14=1425-157

=1268c㎡ 増えます。

 

以上から、立体の表面積は、

   9000+250×3.14+1268=9000+785+1268

 =11053c㎡

と求められます。

 

 

 桜蔭中学の過去問題集は → こちら

 桜蔭中学の他の問題は → こちら

 

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