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2013年12月17日 (火)

平面図形の長さ 第37問 (鎌倉学園中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (鎌倉学園中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★★

 

下の図のように、AB=5cm、BC=10cm、角ABC=90度の

直角三角形ABC の内部に5つの正方形があります。

Pic_3624q

次の問に答えなさい。

 

(1) ①の正方形の1辺の長さを求めなさい。

(2) ②の正方形の面積を求めなさい。

(3) ⑤の正方形の1辺の長さを求めなさい。

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解答

 (1)下の図1のように、正方形①の対角線BDを引くと、

Pic_3625a

三角形ABC の面積は、三角形ABD と三角形BCD の和となり、

それぞれの三角形は、AB,BCを底辺とすると、高さは共に

DE の長さと等しくなることから、DE の長さを求めると、

    5×10÷2=5×DE÷2+10×DE÷2

           =15×DE÷2

となり、DE=10/3=3と1/3cm と求められます。

 

 (2)三角形ABC と三角形DEC は相似で、

相似比は、5 : 10/3 = 3 : 2 なので、

正方形①と正方形②の相似比も、3 : 2 で、

正方形②の1辺の長さは、10/3 の 2/3 で、

   10/3 × 2/3 = 20/9(cm)

なので、②の正方形の面積は、

   20/9×20/9=400/81=4と76/81c㎡

と求められます。

 

 (3)正方形の1辺の長さは、2/3倍になっていき、

正方形⑤の1辺の長さは、

  10/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3 = 160/243cm

と求められます。

 

 

 鎌倉学園中学の過去問題集は → こちら

 鎌倉学園中学の他の問題は → こちら

 

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