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2013年12月25日 (水)

場合の数 第69問 (神戸海星女子学院中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (神戸海星女子学院中学 入試問題 2013年 算数)

     難易度★★★

 

2ケタの同じ整数同士の掛け算をした結果の、

 10×10、11×11、12×12、・・・、99×99

という 90個の整数があります。

 

(1)これら90個のうち、1の位の数が1または4になるものは

   何通りありますか。

(2)これら90個から異なる2個を選んだとき、和の1の位が5に

   なるものは何通りありますか。

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解答

 (1)0×0=0、1×1=1、2×2=4、3×3=9、

    4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、

    8×8=64、9×9=81

より、1の位が1または4になるのは、元の掛け算の

整数の1の位が1、2,8,9 の4種類で、十の位が1~9まであり、

   4×9=36通り

あることがわかります。

 

 (2)和の一の位が5になる足し算は、

   0+5、1+4、2+3、9+6、8+7

の5通りありますが、(1)より、1の位が3,8になるものはないので、

0+5、1+4、9+6 の3通りが考えられます。

 

(ア)0+5のもの

   0×0 → 9通り 

   5×5 → 9通り

   以上より、9×9=81通り

(イ)1+4のもの

   1×1 → 9通り

   9×9 → 9通り

   2×2 → 9通り

   8×8 → 9通り

   以上より、18×18=324通り

(ウ)9+6のもの

   3×3 → 9通り

   7×7 → 9通り

   4×4 → 9通り

   6×6 → 9通り

   以上より、18×18=324通り

 

よって、和の1の位が5になるものは、

   81+324+324=729通り

あることがわかります。

 

 

 神戸海星女子学院中学の過去問題集は → こちら

 神戸海星女子学院中学の他の問題は → こちら

 

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