場合の数 並べ方 第７２問 （豊島岡女子学園中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（豊島岡女子学園中学　入試問題　2013年　算数）

　　　　 難易度★★★☆

１，２，３ の数字がそれぞれ書かれたカードがたくさんあります。

この中から何枚かのカードを選んで、次の＜規則＞に従って

左から１列に並べます。

　＜規則＞

・　１の数字の書かれたカードは

　　続けて何枚でも並べることができる

・　２または３の数字の書かれたカードは

　　続けて並べることはできない。

たとえば、カードを５枚並べるときには、

　　 【１】　【３】　【１】　【１】　【２】

のような並べ方は＜規則＞に当てはまります。また、

　　 【３】　【２】　【１】　【２】　【２】

のように、３と２が続いて並んだり、２と２が続いて並んでいる

ような並べ方は＜規則＞に当てはまりません。このとき、

次の問に答えなさい。

（１）カードを３枚並べるとき、異なる並べ方は何通りありますか。

（２）カードを６枚並べるとき、異なる並べ方は何通りありますか。

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解答

　（１）【２】の次は【１】、【３】の次も【１】になることに注意すると、

１枚目が【１】のときは、

　　 【１，１，１】、【１，１，２】、【１，１，３】、【１，２，１】、【１，３，１】

１枚目が【２】のときは、

　　 【２，１，１】、【２，１，２】、【２，１，３】

１枚目が【３】のときは、１枚目が【２】のときと同様になり、

　　 【３，１，１】、【３，１，２】、【３，１，３】

以上のように、カードを３枚並べるとき、異なる並べ方は、

　　 ５＋３＋３＝１１通り

あります。

　（２）（１）の結果を利用できないかと考えましょう。すると・・・

たとえば、【１，３，１】と並んだカードの続きは、３枚目の【１】を

１枚目と考えれば、この後には、（１）より ５通り の並べ方が

あることがわかります。

しかし、この考え方では、５枚目までの並べ方にしかなりません。

ですが、（１）の結果をよく見ると、１１通りのうち ９通りは、

２番目のカードが【１】になっているのです。

つまり、５枚目までの並べ方について、１枚目が【１】の場合を

考えると、

　３枚目までが、【１，１，１】　→　５枚目までの並べ方　：　５通り

　３枚目までが、【１，１，２】　→　５枚目までの並べ方　：　３通り

　３枚目までが、【１，１，３】　→　５枚目までの並べ方　：　３通り

　３枚目までが、【１，２，１】　→　５枚目までの並べ方　：　５通り

　３枚目までが、【１，３，１】　→　５枚目までの並べ方　：　５通り

合計２１通りあります。

ですから、１枚目、２枚目のカードが、

　【１，１】　→　６枚目までの並べ方が２１通り

　【２，１】　→　６枚目までの並べ方が２１通り

　【３，１】　→　６枚目までの並べ方が２１通り

とわかります。

次に、１枚目が【２】または【３】の場合、

　３枚目までが、【２，１，１】　→　５枚目までの並べ方　：　５通り

　３枚目までが、【２，１，２】　→　５枚目までの並べ方　：　３通り

　３枚目までが、【２，１，３】　→　５枚目までの並べ方　：　３通り

１枚目が【２】のとき、５枚目までの並べ方は、５＋３＋３＝１１通り

　３枚目までが、【３，１，１】　→　５枚目までの並べ方　：　５通り

　３枚目までが、【３，１，２】　→　５枚目までの並べ方　：　３通り

　３枚目までが、【３，１，３】　→　５枚目までの並べ方　：　３通り

１枚目が【３】のとき、５枚目までの並べ方は、５＋３＋３＝１１通り

よって、１枚目、２枚目のカードが

　【１，２】　→　６枚目までの並べ方が１１通り

　【１，３】　→　６枚目までの並べ方が１１通り

とわかります。

以上より、カードを６枚並べるときの異なる並べ方は、

　２１×３＋１１×２＝８５通り

と求められます。

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