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2013年12月 9日 (月)

場合の数 第68問 (渋谷教育学園幕張中学 入試問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 入試問題 2010年 算数)

     難易度★★★★

 

下の図のような正三角形の形をした花壇があり、正三角形の

3つの頂点A,B,C にはそれぞれ1つずつ石が置いてあります。

まこと君は、はじめ頂点A にいます。まこと君は、サイコロを

1回振ると、自分がいる頂点から花壇の周りを反時計周り

(A→B→C→A→・・・)に歩き、出た目の数だけ先にある頂点に

移動します。(たとえば、Aにいるまこと君がサイコロを振って

【2】の目が出た場合、まこと君は2つ先の C に移動します。)

そして、移動した頂点に石があれば石を取り除き、石がなければ

その頂点に石を置きます。このとき、次の問に答えなさい。

      Pic_3614q

(1)サイコロを2回振ってまこと君が移動したあと、3つの頂点

   A,B,C にすべて石があるようなサイコロの目の出方は

   何通りありますか。

(2)サイコロを3回振ってまこと君が移動したあと、3つの頂点

   A,B,C にすべて石がないようなサイコロの目の出方は

   何通りありますか。

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解答

 (1)2回サイコロを振って、A,B,C すべてに石があるのは、

1回振ってたどり着いた頂点に、2回目もたどり着くときです。

 

この場合、2回目は正三角形を1周(3の目)または2周(6の目)

すればよく、1回目の目は、どの目でも大丈夫です。

 

よって、1回目のサイコロの目の出方は 6通りあり、

そのそれぞれについて、2回目の目の出方は2通りあるので、

サイコロを2回振って、A,B,C すべてに石があるような

サイコロの目の出方は、6×2=12通り あります。

 

 (2)3回サイコロを振って、3つの頂点すべてに石がないのは、

3回とも異なる頂点に移動した場合です。

 

ここで、サイコロの【1】の目と【4】の目、【2】の目と【5】の目、

【3】の目と【6】の目は、同じ役割(同じ場所に移動する)という

ことに気をつけましょう。

 

3回移動するので、正三角形が回転させることができることから

下の図1のように、1回目終了時の位置から、残り2回で

残りの2か所に移動すればよいと考えます。(1回目は何の目

でもいいのです)

     Pic_3615a

図1のオレンジの位置から残り2か所へ移動する目の出方は、

 (1,1)、(1,4)、(4,1)、(4,4)、

 (2,2)、(2,5)、(5、2)、(5,5)

の 8通り となります。

 

よって、1回目の目の出方は 6通り(何の目でもよいので)、

2回目、3回目の目の出方は 8通り あるので、サイコロを

3回振って、どの頂点にも石がないような目の出方は、

   6×8=48通り

と求められます。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

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