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2013年11月26日 (火)

速さ 第62問 (大阪星光学院中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (大阪星光学院中学 入試問題 2013年 算数)

     難易度★★★☆

 

X,Y,Z の3人が直線コースで競走をしました。Xがスタートした

後にYがスタートし、その時間差の 2/3 の後に Z がスタートし

ました。コースの途中のA地点で 3人が横一線に並びました。

A地点から204m先のB地点はコースの中間地点です。Z が

B地点の先 36mを通過したとき、XはB地点の手前24mを

通過しました。X がB地点を通過したのは、YがB地点を通過

してから 6秒後でした。Z は自分が出発してから 90秒後に

ゴールに着きました。3人の速さはそれぞれ一定であったとして

次の問に答えなさい。

 

(1)X と Z の速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)X と Y の速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)コースの全長は何mですか。

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解答

 (1)A地点から、Zが204+36=240mの地点を通過したとき

Xは、204-24=180mの地点を通過しているので、X と Z の

速さの比は、 X : Z = 180 : 240 = 3 : 4 です。

 

 (2)Zは90秒でゴールするので、中間地点のBに着くまで、

45秒かかっていることがわかります。

 

X,Y,Z の移動の様子をグラフに描くと、下の図1のようになり、

  Pic_3599a

青い三角形、黄色い三角形は互いに相似になり、図1の

OP : PQ = 3 : 2 なので、RS : ST = 2 : 3 で、

ST(YがB地点を通過してからZがB地点を通過するまでの時間)

が6秒なので、RS=4秒ということがわかります。

 

(1)より、X : Z の速さの比が 3 : 4 なので、

ZがB地点まで45秒かかったとき、XはB地点まで、

45÷3×4=60秒かかることがわかります。

 

つまり、図1のOT間が60秒で、QR=45秒、RT=4+6=10秒

なので、OQ=5秒 ということがわかり、OP=3秒です。

 

よって、YがB地点に着くまでにかかった時間は、

     2+45+4=51秒

となり、B地点に着くまでに、Xは60秒、Yは51秒かかったこと

から、X と Y の速さの比は、時間の逆比で、

 X : Y = 51 : 60 = 17 : 20

と求められます。

 

 (3)図1のグラフを少し正確にすると、下の図2のようになり、

Pic_3600a_2

黄色い三角形が相似で、OP : ST = 3 : 6 = 1 : 2

となるので、AB間のキョリが204mなので、スタート地点から

B地点までのキョリは、204×1.5=306m とわかり、

コースの全長は、306×2=612m と求められます。

 

 

 大阪星光中学の過去問題集は → こちら

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

  

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