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2013年11月 8日 (金)

点の移動 第44問 (フェリス女学院中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (フェリス女学院中学 入試問題 2013年 算数)

     難易度★★★★

 

Pic_3582q

上の図のような長方形ABCD があります。点P は点A を出発し

一定の速さで辺AB上をA → B → A の順に動きます。点Qは、

点A を出発し辺AD と直線PQ が平行であるように A → C → D

の順に動きます。また、点R は四角形APQR が長方形となる

ような点です。点P が点A を出発してから 30秒後の長方形

APQR の周の長さが 35cm のとき、次の問に答えなさい。

 

(1)点Pが点Aを出発して30秒後の長方形APQRの面積を

   求めなさい。

(2)点P の速さは毎秒何cmですか。

(3)長方形APQR の面積が長方形ABCD の面積の 4/9倍

   になるのは、点Pが点A を出発して何秒後と何秒後ですか。

(4)点Pが点A を出発して点Bに着くまでの途中のある30秒間で

   長方形APQR の面積は 435c㎡ だけ増加します。それは

   点Pが点A を出発してから何秒後からの30秒間ですか。

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解答

 (1)AP : AR = 39 : 52 = 3 : 4 なので、

35cmを 3 : 4 に分けると、15cm と 20cm です。

これは、それぞれ、たて×2、横×2 の長さなので、

30秒後の長方形APQR の

  たて=7.5cm、横=10cm

とわかり、面積は、7.5×10=75c㎡ です。

 

 (2)30秒で点Pは、7.5cm移動するので、点Pの速さは

      7.5 ÷ 30 = 0.25cm(毎秒)

ということです。

 

 (3)長方形ABCD の面積の4/9 になるとき、AP の長さが

何cm かを求めればよいです。

 

点QがAC上にあるとき、AP=□cm とすると、

AR=□×4/3 なので、

     □×□×4/3=52×39×4/9  と表すことができ、

      □×□=52×13=13×4×13

          =13×13×2×2

より、□=26cm とわかります。

 

次に、点QがCD上にあるとき、AP=□cmとすると、

     □×52=39×52×4/9 と表すことができ、

     □=39×4/9=52/3cm とわかります。

 

よって、点Pが 26cm 進んだとき

      点Pが 39+(39-52/3)=182/3 cm 進んだとき

の2回が、長方形APQRの面積が長方形ABCDの面積の4/9に

なるときで、

  26÷0.25=104秒後

  182/3 ÷ 0.25 = 182/3 ÷ 1/4 = 728/3

                = 242 と 2/3 秒後

と求められます。

 

 (4)点QがCからDへ移動するときは、面積は減少するのみ

なので、求めるのは、点QがAからCへ移動しているときです。

 

30秒間に点Pが移動する長さは、0.25×30=7.5cmです。

30秒間に点Rが移動する長さは、点Pの4/3倍で、10cmです。

 

移動後の点をそれぞれ点P’,Q’,R’とすると、下の図1のように

Pic_3583a

増えた面積は、青い部分と黄色い部分の合計で、

   黄色い部分の面積 = 7.5×10 = 75c㎡

なので、

   青い部分の面積 = 435 - 75 = 360c㎡

とわかります。

 

さらに、下の図2のように、図1を2.5cmずつ、【1】ずつの

部分に分けると、

Pic_3584a

2.5cm × 【1】 が 12+12=24個 できます。

この1つの面積は、360÷24=15c㎡ と求められるので、

   【1】=15÷2.5=6cm

とわかり、【3】=6×3=18cmです。

 

よって、AP=18cm となるときから 30秒で435c㎡の

面積が増えることがわかり、点Pが点Aを出発してから

   18÷0.25=72秒後

から30秒間と求められます。

 

 

 フェリス女学院中学の過去問題集は → こちら

 フェリス女学院中学の他の問題は → こちら

 

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