立体図形の切り口 第５７問 （開成中学 受験問題 2011年（平成23年度） 算数）
問題 （開成中学 受験問題 2011年 算数） 難易度★★★★
下の図１のような １辺が １２ｃｍの立方体があります。辺ＡＤ上に
点Ｐ と点Ｓ が、辺ＡＢ上に点Ｑが、辺ＢＦ上に点Ｒが、辺ＦＧ上に
点Ｔがあり、ＡＰ＝３ｃｍ、ＡＳ＝ＡＱ＝ＢＲ＝ＦＴ＝６ｃｍです。
この立方体を３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面、および３点Ｓ，Ｂ，Ｔ を
通る平面で切ります。下の図１には、切るときの様子の一部分を
正確ではありませんが描かれています。このとき、次の問に
答えなさい。
（１）この立方体を３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面によって切ったとき
立方体の表面にできる切り口を下の展開図２に実線で、
３点Ｓ，Ｂ，Ｔ を通る平面によって切ったとき立方体の表面に
できる切り口を点線で、すべて描き入れなさい。
（２）２つの平面で切ったときにできた ３つの立体のうち、頂点Ａ
を含む立体Ｘ 、および頂点Ａ も頂点Ｃ も含まない立体 Ｙ
の体積をそれぞれ求めなさい。なお、三角すいの体積は、
底面の三角形の面積 × 高さ ÷ ３ で求めることが
できます。
----------------------------------------------
----------------------------------------------
解答
（１）まず、立方体上の切り口について考えましょう。
図１のＰ→Ｑ→Ｒ の線の先について考えます。下の図３のように
点Ｐ を通り、平面ＡＢＦＥ と平行な平面ＰＵＶＷ を描くと、
この切り口は、点ＰからＱＲと平行な線になっているので、
ちょうど、点Ｖ を通ることがわかります。（三角形ＢＱＲ と
三角形ＵＰＶ が相似で、ＢＱ：ＢＲ＝ＵＰ：ＵＶ＝１：１）
よって、切り口は、点Ｒと点Ｖを結ぶ線となって表すことができ、
続いて、点ＶからＰＱと平行な線を下の図４のように平面ＥＦＧＨ上
に引けば、その線が切り口になります。
この際、三角形ＡＰＱ を三角形ＷＸＶ が相似となるように線を
引きます。すなわち、ＡＰ ： ＡＱ ＝ ＷＸ ： ＷＶ ＝ １：２ です。
ＷＶ＝１２ｃｍなので、ＷＸ＝６ｃｍです。
最後に、点Ｐ と点Ｘ は同じ平面上にあるので、線で結んで
下の図５の太線が、切り口となります。
次に、３点Ｓ，Ｂ，Ｔ を通る平面で立方体を切ったときを考えると、
下の図６のように、点ＳからＢＴと平行な線を、点ＴからＢＳと平行
な線を引くと、共に頂点Ｈで交わり、この太線が切り口です。
次に、図２の展開図に各頂点を書き込むと、下の図７のように
なります。
ここに、図５、図６の切り口を書き込むと、下の図８になります。
（２）図５と図６を重ねて描くと、下の図９のようになります。
立体Ｘ は、頂点Ａ を含む立体なので、黒線の平面より頂点Ａ側
の部分で、立体Ｙ は、黒線の平面と赤線の平面にはさまれた
部分ということになります。
まず、立体Ｘ と立体Ｙ の合計の体積は、面ＡＢＦＥ を底面と見た
切断四角柱ＡＢＦＥ－ＴＨＳ の体積として求めることができ、
切断四角柱の高さは、高さの平均で、この場合 ６ｃｍ より、
立体Ｘ と立体Ｙ の合計の体積は、
１２×１２×６＝８６４ｃ㎥
とわかります。
次に、立体Ｘ または 立体Ｙ の体積を求めれば、
両方の体積がわかります。求めるのは当然立体Ｘ の方ですね。
下の図１０のように 線ＸＰ と線ＲＱ の交点を点Ｍ，線ＱＲ と
線ＸＶ の交点を点Ｎ とすると、
立体Ｘ の体積は、三角すいＭ－ＥＮＸ から２つの三角すい、
三角すいＲ－ＦＮＶ、三角すいＭ－ＡＱＰの体積を除けばよい
ことがわかります。
三角形ＲＦＶ と三角形ＭＥＸ が相似で、ＦＶ＝３ｃｍ、ＥＸ＝９ｃｍ、
ＲＦ＝６ｃｍなので、ＭＥ＝１８ｃｍ とわかり、ここからＭＡ＝６ｃｍ
と求められます。
また、三角形ＡＰＱ と三角形ＥＸＮ が相似で、ＡＰ＝３ｃｍ、
ＡＱ＝６ｃｍ、ＥＸ＝９ｃｍより、ＥＮ＝１８ｃｍ とわかり、ここから
ＦＮ＝１８－１２＝６ｃｍ とわかります。
よって、
三角すいＭ－ＥＮＸ の体積は、
９×１８÷２×１８÷３＝４８６㎥
三角すいＲ－ＦＮＶ の体積は、
３×６÷２×６÷３＝１８ｃ㎥
三角すいＭ－ＡＱＰ の体積は、
３×６÷２×６÷３＝１８ｃ㎥
とわかるので、
立体Ｘ の体積は、４８６－１８×２＝４５０ｃ㎥
立体Ｙ の体積は、８６４－４５０＝４１４ｃ㎥
と求められます。
開成中学の他の問題は → こちら
| 固定リンク
« 論理 第４５問 （青山学院中等部 受験問題 2013年（平成25年度） 算数） | トップページ | 和と差 第３８問 つるかめ算 （横浜共立学園中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数） »
コメント